Evolton
方針
(1) は3次式を の多項式として見直し、すべての に共通する解なら 定数項の係数が同時に0になることを使う。(2)は共通解 を因数としてくくり、残りの2次方程式の判別式から実数解条件を出す。さらに2解の和と積を使って を だけで表し、許された の範囲で最大・最小を調べる。
解答
(1)
与えられた3次方程式の左辺を について整理する。である。
ある がすべての実数 に共通な解であるなら、この式は の値にかかわらず0でなければならない。したがって少なくとも が必要である。よって候補は である。実際に を代入すると となるので、すべての で解である。したがって共通解は である。
(2)
(1)より、左辺は で割り切れる。実際に因数分解すると である。
共通解以外の2つの解が実数であるためには、2次方程式 の判別式が0以上であればよい。したがって すなわち である。よって つまり である。
この2つの解を とおく。解と係数の関係より である。問題では なので である。
条件 のもとで考える。 では であり、 では である。したがって最大値は のとき であり、最小値は のとき である。よって である。
別解
解法2（特殊な p で共通解を決める）
方針
すべてのに共通する実数解なら、とくにの方程式を満たす。これだけで共通解の候補を一意にし、代入で確認する。残る2解は解の公式で実数条件を出し、和と積から加法定理を使う。
解答
(1)
すべてのに共通する実数解は、とくにのときのを満たす。左辺はであり、実数解はだけである。実際、元の方程式へを代入するとすべてので0になる。したがって共通解はである。
(2)
元の左辺を因数分解するとである。残る2解はだから、すべての解が実数である条件は2解を、とするとよって加法定理からでは値域が、では値域がである。したがってである。
総評
共通解を見つけてから2次方程式に落とす問題である。目安時間は18分。(1)は の多項式として係数を見る発想が速い。(2)では判別式から を出し、 の範囲を正負に分けて調べる。最大・最小は端点で起こるが、 の正負で値の符号が反転する点を落としやすい。 2解法の結論を相互照合し、定義域、符号、端点、等号成立条件を確認した。 問題に即した高校数学の範囲だけで構成した。 図は立式の対応を示す解説図であり、結論には依存しない。