北海道大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

頂点を $A=(p,q)$ とおく。$A$ は中心 $(0,1)$、半径1の円 $C$ 上にあるから $p^2+(q-1{)}^2=1$ である。これを整理すると $$p^2+q^2-2q=0,p^2=q(2-q)$$ である。特に円 $C$ 上では $0\leqq q\leqq 2$ であり、$A\mathrm{\ne }(0,0)$ なら $q>0$ である。

(1) $C_1:y=x^2$ と $C_2:y=-(x-p{)}^2+q$ の交点の $x$ 座標は $x^2=-(x-p{)}^2+q$ で決まる。整理すると $2x^2-2px+p^2-q=0$ である。この二次方程式の判別式は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\Delta }}& {\displaystyle =(-2p{)}^2-4\cdot 2(p^2-q)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4p^2-8p^2+8q}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(2q-p^2)}\end{array}$$である。円上条件 $p^2=q(2-q)$ を用いると $2q-p^2=2q-q(2-q)=q^2$ なので $\mathrm{\Delta }=4q^2$ である。$A\mathrm{\ne }(0,0)$ より $q>0$ だから $\mathrm{\Delta }>0$ であり、$C_1$ と $C_2$ は異なる2点で交わる。

(2)

交点の $x$ 座標は、二次方程式の解の公式より $$x={\displaystyle \frac{2p\pm 2q}{4}}={\displaystyle \frac{p\pm q}{2}}$$ である。そこで $$r_1={\displaystyle \frac{p-q}{2}},r_2={\displaystyle \frac{p+q}{2}}$$ とおく。$r_2-r_1=q$ である。

根の間では上側が $C_2$、下側が $C_1$ であり、その差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C_2-C_1}& {\displaystyle =-(x-p{)}^2+q-x^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2x^2+2px-p^2+q}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(x-r_1)(r_2-x)}\end{array}$$である。よって面積は$$S={\int }_{r_1}^{r_2}2(x-r_1)(r_2-x)dx$$である。$h=r_2-r_1=q$、$u=x-r_1$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{h}2u(h-u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[{\displaystyle \frac{h}{2}}{u}^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}{u}^3]}_0^h}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2({\displaystyle \frac{1}{2}}{h}^3-{\displaystyle \frac{1}{3}}{h}^3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{h^3}{3}}}\end{array}$$である。したがって $$S={\displaystyle \frac{q^3}{3}}$$ である。

円 $C$ 上で $q$ の最大値は、円の最上点で $q=2$ である。ゆえに面積の最大値は $$S_{\max }={\displaystyle \frac{2^3}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$$ であり、そのとき $A=(0,2)$ である。

2曲線の高さの差を交点の根で因数分解せず、対称軸 $x=p\mathrm{/}2$ へ平行移動する。円上条件で差を $q^2\mathrm{/}2-2z^2$ に簡約し、対称区間の積分から面積を求める。

円上条件は$$p^2+(q-1{)}^2=1⟺p^2=q(2-q),0\leqq q\leqq 2$$である。

(1)

2曲線の高さの差を、$z=x-p\mathrm{/}2$ とおいて整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C_2-C_1}& {\displaystyle =-2x^2+2px-p^2+q}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2z^2+q-{\displaystyle \frac{p^2}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2z^2+{\displaystyle \frac{q^2}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$$A\mathrm{\ne }(0,0)$ なら $q>0$ なので、この差は$$z=\pm {\displaystyle \frac{q}{2}}$$で0となる。よって異なる2交点をもつ。

(2)

交点間では $C_2$ が上側にあり、面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-q\mathrm{/}2}^{q\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{q^2}{2}}-2z^2)dz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^{q\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{q^2}{2}}-2z^2)dz={\displaystyle \frac{q^3}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$$0\leqq q\leqq 2$ だから最大は $q=2$ のときであり、$$S_{\max }={\displaystyle \frac{8}{3}},A=(0,2)\mathrm{.}$$