北海道大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
点 $(x,y)$ が円 $$C_a:(x-a{)}^2+(y-a{)}^2=a^2+1$$ 上にあるとする。式を $a$ について整理すると $a^2-2(x+y)a+x^2+y^2-1=0$ である。したがって，ある実数 $a$ が存在するための条件は，この2次方程式が実数解をもつことである。

判別式を調べると $$D=4(x+y{)}^2-4(x^2+y^2-1)=4(2xy+1)$$ である。よって条件は $2xy+1\geqq 0$ すなわち $xy\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。したがって，$a$ がすべての実数を動くときに円が通る範囲は $xy\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。境界は双曲線 $xy=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり，その双曲線を含んで $xy$ が大きい側を塗ればよい。

(2)
同じ2次方程式 $$F(a)=a^2-2(x+y)a+x^2+y^2-1=0$$ が，$a\geqq 0$ の範囲に解をもつ条件を考える。

まず $x^2+y^2\leqq 1$ ならば $F(0)=x^2+y^2-1\leqq 0$ である。$F(a)$ は上に開く2次式なので，$a$ を十分大きくすると正になる。したがって，$a\geqq 0$ に解が存在する。

次に $x^2+y^2>1$ とする。このとき $F(0)>0$ であるから，$a\geqq 0$ に解をもつには，正の側で2次式がいったん0以下になる必要がある。$F(a)$ の軸は $a=x+y$ である。したがってまず $x+y>0$ が必要である。そのうえで実数解をもつ条件は(1)と同じく $xy\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。これらは十分でもある。

以上より，$a\geqq 0$ のときに円が通る範囲は $x^2+y^2\leqq 1$ または $$x^2+y^2>1,x+y>0,xy\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。図示では，単位円の内部全体を含み，その外側では直線 $x+y=0$ の右上側で，かつ双曲線 $xy=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ の条件を満たす部分を加えればよい。

$C_a$の式を$a$について解き，$a=x+y\pm \sqrt{2xy+1}$を得る。(1)は平方根が実数である条件、(2)は大きい方の解が非負である条件を調べる。後者を$x+y$の符号で分けると、単位円・直線・双曲線で囲まれる領域が直接得られる。

(1)

点$(x,y)$が円$C_a$上にある条件を$a$について解くと$$a^2-2(x+y)a+x^2+y^2-1=0$$より$$a=x+y\pm \sqrt{2xy+1}$$である。したがって実数$a$が存在するための必要十分条件は$$2xy+1\geqq 0$$である。よって求める範囲は$$xy\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{を満たす領域}$$であり、境界の双曲線も含む。

(2)

$a\geqq 0$の解が存在するためには、大きい方の解について$$x+y+\sqrt{2xy+1}\geqq 0$$となればよい。ただし$2xy+1\geqq 0$が前提である。

$x+y\geqq 0$なら上の不等式は自動的に成り立つ。$x+y<0$なら、両辺が非負であることに注意して$$\sqrt{2xy+1}\geqq -(x+y)$$を2乗できる。これより$$2xy+1\geqq (x+y{)}^2⟺x^2+y^2\leqq 1$$を得る。

したがって求める範囲は$$\{x+y\geqq 0,xy\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}\}\cup \{x+y<0,x^2+y^2\leqq 1\}$$である。単位円内では常に$xy\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}$なので、これは解法1の領域表示と一致する。