北海道大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

円 $C_2$ の中心を $R=(0,1)$ とおく。点 $P$ は $P=(t,t^2-1)$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{R}^2}& {\displaystyle =t^2+(t^2-2{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t^4-3t^2+4}\end{array}$$である。ここで $u=t^2$ とおくと $$P{R}^2=u^2-3u+4={(u-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{7}{4}}$$ となる。したがって常に $P{R}^2>1$、すなわち $P$ は円 $C_2$ の外部にある。

(1)

円の外部の点 $P$ から円までの最短距離は、中心 $R$ までの距離から半径1を引いた値である。よって $$l(t)=PR-1=\sqrt{t^4-3t^2+4}-1$$ である。

(2) $l(t)$ を最小にすることは $P{R}^2$ を最小にすることと同じである。上で得た $$P{R}^2={(t^2-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{7}{4}}$$ より、最小となるのは $t^2={\displaystyle \frac{3}{2}}$ のときである。このとき $$PR=\sqrt{{\displaystyle \frac{7}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}}$$ であるから $$l(t{)}_{\min }={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}}-1$$ である。また $$t=\pm \sqrt{3\mathrm{/}2}$$ であり、対応する $P$ の $y$ 座標は $$t^2-1={\displaystyle \frac{3}{2}}-1={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。したがって求める点は$$P=(\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),P=(-\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$$である。

円周上の任意の点 $Q$ に対して三角不等式 $PQ\geqq PR-RQ$ を使い、中心方向の点で等号が実現することを示す。その後は $t^2$ の二次式を平方完成する。

円 $C_2$ の中心を $R=(0,1)$ とする。任意の $Q\in C_2$ に対し、三角不等式から$$PQ\geqq PR-RQ=PR-1.$$$P$ が円の外部にあれば、半直線 $RP$ と円の交点を $Q$ に選ぶことで等号が成り立つ。

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{R}^2}& {\displaystyle =t^2+(t^2-2{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(t^2-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{7}{4}}>1.}\end{array}$$したがって $P$ は常に円の外部にあり、$$l(t)=PR-1=\sqrt{t^4-3t^2+4}-1.$$(2)

上の平方完成から $P{R}^2$ は$$t^2={\displaystyle \frac{3}{2}}$$のとき最小値 $7\mathrm{/}4$ をとる。よって$$\min l(t)={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}}-1.$$等号時は $$t=\pm \sqrt{3\mathrm{/}2}$$ で、$t^2-1=1\mathrm{/}2$ だから$$P=(\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),P=(-\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}},{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$