北海道大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
1回の操作で進む数は $1$ または $2$ であり、それぞれ確率は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。累計が $6$ になった瞬間に点 $A$ に戻る。進む数は正なので、累計が初めて $6$ になる列は、単に和が $6$ である列を数えればよい。

移動量 $2$ が $k$ 回出るとすると、移動量 $1$ は $6-2k$ 回出る。したがって操作回数は $k+(6-2k)=6-k$ であり、その並べ方は ${}_{6-k}{\mathrm{C}}_k$ 通りである。$k=0,1,2,3$ が可能だから、求める確率は$$\sum _{k=0}^3{\displaystyle \frac{{}_{6-k}{\mathrm{C}}_k}{2^{6-k}}}={\displaystyle \frac{1}{64}}+{\displaystyle \frac{5}{32}}+{\displaystyle \frac{6}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{43}{64}}$$である。

(2)
2周で初めて上がるには、累計 $6$ には止まらず、累計 $12$ に初めて到達しなければならない。1回で進む量は最大 $2$ なので、累計 $6$ を踏まずに通過するには、累計 $5$ から $2$ を出して累計 $7$ になるしかない。

まず、累計が $5$ になる確率を求める。移動量 $2$ が $k$ 回出るとすると、移動量 $1$ は $5-2k$ 回で、操作回数は $5-k$ 回である。したがって$$\sum _{k=0}^2{\displaystyle \frac{{}_{5-k}{\mathrm{C}}_k}{2^{5-k}}}={\displaystyle \frac{1}{32}}+{\displaystyle \frac{4}{16}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{21}{32}}$$である。

累計 $5$ から $7$ に進むには次に $2$ が出る必要があり、その確率は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。累計 $7$ から $12$ までは、再び合計 $5$ だけ進めばよい。途中では累計 $12$ 未満なので点 $A$ には戻らない。よって求める確率は $${\displaystyle \frac{21}{32}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{21}{32}}={\displaystyle \frac{441}{2048}}$$ である。

累計移動量がちょうど $s$ になる確率を $r_s$ と置く。最後の移動量が1か2かで分けると2項漸化式が得られる。(1) は $r_6$、(2) は累計5から2で6を飛び越え、残り5を進む確率として表す。

移動量1と2はそれぞれ確率 $1\mathrm{/}2$ である。累計移動量がちょうど $s$ になる確率を $r_s$ とおく。正の移動だけなので、最後の一手で場合分けして$$r_0=1,r_1={\displaystyle \frac{1}{2}},$$$$r_s={\displaystyle \frac{1}{2}}{r}_{s-1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{r}_{s-2}(s\geqq 2)$$である。順に計算すると$$r_2={\displaystyle \frac{3}{4}},r_3={\displaystyle \frac{5}{8}},r_4={\displaystyle \frac{11}{16}},r_5={\displaystyle \frac{21}{32}},r_6={\displaystyle \frac{43}{64}}\mathrm{.}$$(1)
ちょうど1周で上がる確率は$$r_6={\displaystyle \frac{43}{64}}\mathrm{.}$$(2)
累計6を踏まずに越えるには、累計5から2進んで7になるしかない。その確率は$$r_5\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$その後、累計12まで残り5を進む確率は再び $r_5$ である。したがって$$r_5\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot r_5={\displaystyle \frac{441}{2048}}\mathrm{.}$$