北海道大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
全事象の数は $2^m$ である。事象 $A$ は，全部表または1個だけ裏である場合だから $$P(A)={\displaystyle \frac{1+m}{2^m}}$$ である。事象 $B$ は，全部表と全部裏を除いた場合だから $$P(B)={\displaystyle \frac{2^m-2}{2^m}}$$ である。また $A\cap B$ は，少なくとも $m-1$ 個表で，かつ表も裏も少なくとも1個ある場合なので，ちょうど1個だけ裏の場合である。したがって $$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{m}{2^m}}$$ である。

独立であるための条件は $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ であるから $${\displaystyle \frac{m}{2^m}}={\displaystyle \frac{m+1}{2^m}}\cdot {\displaystyle \frac{2^m-2}{2^m}}$$ である。整理すると $m{2}^m=(m+1)(2^m-2)$ となり，$2^m=2(m+1)$ を得る。 $m=2$ では左辺4，右辺6で不成立である。$m=3$ では左辺8，右辺8で成立する。$m\geqq 4$ では $2^{m-1}-(m+1)$ は正で，さらに $m$ が1増えるごとに増加するので，これ以後は成立しない。よって $m=3$ である。

(2)
表が $k$ 個出る確率は ${\displaystyle \frac{{}_m{\mathrm{C}}_k}{2^m}}$ である。このとき $X=2^k$ だから $$E(X)=\sum _{k=0}^m{2}^k{\displaystyle \frac{{}_m{\mathrm{C}}_k}{2^m}}$$ である。二項定理より $$\sum _{k=0}^m{}_m{\mathrm{C}}_k{2}^k=3^m$$ なので $$E(X)={\displaystyle \frac{3^m}{2^m}}={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^m$$ である。

次に $${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^m>100$$ となる最小の $m$ を求める。常用対数を取ると $m{\log }_{10}{\displaystyle \frac{3}{2}}>2$ である。与えられた値より $${\log }_{10}{\displaystyle \frac{3}{2}}={\log }_{10}3-{\log }_{10}2=0.477-0.301=0.176$$ である。したがって $$m>{\displaystyle \frac{2}{0.176}}=11.36\cdots$$ である。よって最小の整数は $12$ である。

(1) は事象の個数を数えて独立条件を解く。(2)では各硬貨に、表なら2、裏なら1という因子を対応させると$X$はそれらの積になる。独立性から積の期待値を各因子の期待値の積として求める。

(1)

$A$は全部表または1個だけ裏、$B$は全部表・全部裏以外である。よって$$P(A)={\displaystyle \frac{m+1}{2^m}},P(B)={\displaystyle \frac{2^m-2}{2^m}},P(A\cap B)={\displaystyle \frac{m}{2^m}}\mathrm{.}$$独立条件より$${\displaystyle \frac{m}{2^m}}={\displaystyle \frac{m+1}{2^m}}{\displaystyle \frac{2^m-2}{2^m}}$$であり、整理すると$$2^{m-1}=m+1.$$$m=2$では$2^{m-1}=2\text{neqq}3=m+1$であり、$m=3$では成り立つ。
$m\geqq 4$では$2^{m-1}>m+1$であり、その差は$m$とともに増える。したがって$$m=3\mathrm{.}$$(2)

第$i$番目の硬貨について$$Y_i=\{\begin{array}{ll}2& (\text{表}),\\ 1& (\text{裏})\end{array}$$と置く。表が$k$個なら$$Y_1{Y}_2\cdots Y_m=2^k=X\mathrm{.}$$各硬貨は独立で$$E(Y_i)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1={\displaystyle \frac{3}{2}}$$だから$$E(X)=E(Y_1{Y}_2\cdots Y_m)=E(Y_1)E(Y_2)\cdots E(Y_m)={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^m\mathrm{.}$$$${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^m>100$$の両辺の常用対数を取ると$$m(0.477-0.301)>2.$$よって$$m>{\displaystyle \frac{2}{0.176}}=11.36\cdots \mathrm{.}$$したがって最小の整数は$$m=12\mathrm{.}$$