北海道大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

まず、1回の試行で事象 $A$ が起こる確率を求める。3個のサイコロの目が連続した3つの自然数になるには、目の集合が $\{1,2,3\},\{2,3,4\},\{3,4,5\},\{4,5,6\}$ のいずれかであればよい。それぞれについて、3つの目を3個のサイコロに割り当てる方法は $3!$ 通りである。全事象は $6^3$ 通りだから $$P(A)={\displaystyle \frac{4\cdot 3!}{6^3}}={\displaystyle \frac{24}{216}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$$ である。したがって $A$ が起こらない確率は ${\displaystyle \frac{8}{9}}$ である。

(1) $n$ 回目に初めて $A$ が起こるには、最初の $n-1$ 回では $A$ が起こらず、$n$ 回目に $A$ が起こればよい。各試行は独立なので、求める確率は ${\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{9}}$ である。

(2)
1回目から $n$ 回目までに少なくとも1回 $A$ が起こる確率は、1回も起こらない確率を1から引いて $1-{\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^n$ である。これが $0.5$ 以上となる条件は $$1-{\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^n\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ すなわち $${\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^n\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

常用対数をとると $$n{\log }_{10}{\displaystyle \frac{8}{9}}\leqq {\log }_{10}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。ここで$${\log }_{10}{\displaystyle \frac{8}{9}}=3{\log }_{10}2-2{\log }_{10}3=3\cdot 0.301-2\cdot 0.477=-0.051$$であり、$${\log }_{10}{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\log }_{10}2=-0.301$$ である。したがって $-0.051n\leqq -0.301$ となり、負の数で割るので不等号の向きが変わって $$n\geqq {\displaystyle \frac{0.301}{0.051}}=5.90\cdots$$ を得る。よって最小の自然数 $n$ は $6$ である。

(3)
4回の各試行で事象 $A$ が起こる確率は常に ${\displaystyle \frac{1}{9}}$ である。$X$ は4回の独立試行における成功回数なので、期待値は $$E(X)=4\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$$ である。

1回の全結果216通りのうち成功24通り、失敗192通りと数え、反復全体を結果列として直接数える。(2)の最小回数は与えられた近似対数に頼らず、候補 $n=5,6$ で整数の大小を正確に比較して確定する。(3)は成功回数の確率分布を書き、二項係数の恒等式を使って期待値の和を計算する。

1回の全結果は $6^3=216$ 通りである。連続する目の集合は4種類で、各集合の並べ方は $3!=6$ 通りだから、成功は24通り、失敗は192通りである。

(1)
$n$ 回分の結果列を直接数える。初めの $n-1$ 回が失敗し、最後だけ成功する列は ${192}^{n-1}\cdot 24$ 通りで、全列は ${216}^n$ 通りである。したがって確率は$${\displaystyle \frac{{192}^{n-1}\cdot 24}{{216}^n}}={\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{9}}\mathrm{.}$$(2)
全て失敗する列は ${192}^n$ 通りだから、少なくとも1回成功する確率は$$1-{\displaystyle \frac{{192}^n}{{216}^n}}=1-{\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^n\mathrm{.}$$この確率は $n$ とともに増加する。$n=5$ では$${\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^5={\displaystyle \frac{32768}{59049}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。実際 $65536>59049$ である。一方、$n=6$ では$${\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^6={\displaystyle \frac{262144}{531441}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$であり、実際 $524288<531441$ である。したがって求める最小の $n$ は$$n=6$$である。

(3) $$P(X=k)={}_4{\mathrm{C}}_k{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^k{\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^{4-k}(0\leqq k\leqq 4)$$である。$$k{}_4{\mathrm{C}}_k=4{}_3{\mathrm{C}}_{k-1}$$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(X)}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{4}k{}_4{\mathrm{C}}_k{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^k{\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^{4-k}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{9}}\sum _{j=0}^3{}_3{\mathrm{C}}_j{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^j{\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^{3-j}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{9}}{({\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{8}{9}})}^3={\displaystyle \frac{4}{9}}\mathrm{.}}\end{array}$$