北海道大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

各時点で、これまでの和を6で割った余りに注目する。まだ試行が終了していないなら、その余りは0ではない。余りがどの非零の値であっても、次のサイコロの目のうち、和を6の倍数にするものはちょうど1つである。したがって、終了していない状態から次の1回で終了する確率は ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ であり、終了しない確率は ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ である。 $1\leqq k<n$ のとき、試行が $k$ 回目で終了するには、最初の $k-1$ 回では終了せず、$k$ 回目で初めて6の倍数になればよい。よって$$P(\text{試行が }k\text{ 回目で終了})={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{k-1}{\displaystyle \frac{1}{6}}(1\leqq k<n)$$である。

一方、$k=n$ のときは、$n-1$ 回目までに終了していなければ、$n$ 回目を投げ終えた時点で打ち切りにより終了する。したがって $$P(\text{試行が }n\text{ 回目で終了})={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-1}$$ である。特に $n=1$ の場合もこの式で確率1となる。

(2)

終了に要する回数を $X$ とする。期待値は $$E_n=\sum _{j=1}^{n}P(X\geqq j)$$ で求められる。$X\geqq j$ とは、$j-1$ 回目までに終了していないことなので $$P(X\geqq j)={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{j-1}$$ である。よって $$E_n=\sum _{j=1}^n{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{j-1}$$ であり、等比級数の和から $$E_n=6\{1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n\}$$ となる。

したがって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{E}_n=6$$ である。

各回の生存確率を使って終了分布を出し、期待値は1回後の再帰式から等比級数として求める。

(1)

生存確率から分布を作る。

$j$ 回投げた時点でまだ終了していない確率を $q_j$ とする。終了前の和の余りは $1,\dots ,5$ のいずれかであり、次の目6通りのうち余りを0にするものはちょうど1つである。したがって$$q_j={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^j\mathrm{.}$$$1\leqq k<n$ では$$\mathbb{P}(X=k)=q_{k-1}{\displaystyle \frac{1}{6}}={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{k-1}{\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$$k=n$ では打ち切りも含むので$$\mathbb{P}(X=n)=q_{n-1}={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-1}\mathrm{.}$$(2)

期待値の再帰式を使う。

$n$ 回まで許したときの期待値を $E_n$ とする。最初の1回は必ず投げる。その後も続く確率は $5\mathrm{/}6$ で、残りは同じ規則で高々 $n-1$ 回だから$$E_n=1+{\displaystyle \frac{5}{6}}{E}_{n-1},E_0=0.$$これを解いて$$E_n=1+{\displaystyle \frac{5}{6}}+\cdots +{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-1}=6\{1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n\}\mathrm{.}$$したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{E}_n=6.$$