北海道大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
$n$ 回のうち表が $k$ 回出たとする。裏は $n-k$ 回だから$$X_n=ka-(n-k)b=k(a+b)-nb\mathrm{.}$$表が $k$ 回出る確率は$${}_n{\mathrm{C}}_k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$である。$a+b>0$ より、異なる $k$ は異なる位置を与える。したがって確率分布は$$P(X_n=k(a+b)-nb)={}_n{\mathrm{C}}_k{p}^k(1-p{)}^{n-k}(k=0,1,\dots ,n)$$である。

(2)
$a=2$, $b=1$, $n=3$ のとき$$X_3=3k-3.$$したがって$$\begin{array}{ccccc}k& 0& 1& 2& 3\\ X_3& -3& 0& 3& 6\end{array}$$である。左の区間に入る確率は$$(1-p{)}^3+3p(1-p{)}^2,$$右の区間に入る確率は$$3p^2(1-p)$$である。よって条件は$$(1-p{)}^3+3p(1-p{)}^2>3p^2(1-p)\mathrm{.}$$$1-p>0$ で割って整理すると$$5p^2-p-1<0.$$もとの条件 $0<p<1$ と合わせて$$0<p<{\displaystyle \frac{1+\sqrt{21}}{10}}$$を得る。

投げる回数を1回ずつ増やし、表の回数が $k$ になる確率を、最後が表の場合と裏の場合に分ける。パスカルの関係を用いる帰納法で二項分布を得る。(2)では3回後の4状態を漸化式から並べ、指定区間に対応する状態の確率を合計して比較する。

(1)
$m$ 回投げて表が $k$ 回出る確率を $q_m(k)$ とする。最後が表か裏かで分けると$$q_{m+1}(k)=p{q}_m(k-1)+(1-p)q_m(k)\mathrm{.}$$初期値 $q_0(0)=1$ とパスカルの関係から、数学的帰納法により$$q_m(k)={}_m{\mathrm{C}}_k{p}^k(1-p{)}^{m-k}$$となる。表が $k$ 回なら位置は $k(a+b)-mb$ だから$$P(X_n=k(a+b)-nb)={}_n{\mathrm{C}}_k{p}^k(1-p{)}^{n-k}(k=0,1,\dots ,n)$$である。

(2)
3回後の表の回数 $k=0,1,2,3$ に対する確率は順に$$(1-p{)}^3,3p(1-p{)}^2,3p^2(1-p),p^3$$であり、対応する位置は $-3,0,3,6$ である。したがって比較条件は$$q_3(0)+q_3(1)>q_3(2)\mathrm{.}$$すなわち$$(1-p{)}^3+3p(1-p{)}^2>3p^2(1-p)\mathrm{.}$$$0<p<1$ を用いて整理すれば$$5p^2-p-1<0$$となるから$$0<p<{\displaystyle \frac{1+\sqrt{21}}{10}}$$である。