北海道大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

曲線上の点を $P(x,y)$ とする。第1象限にあるので $x>0$、$y>0$ である。接線が $x$ 軸、$y$ 軸と交わる点をそれぞれ $Q=(q,0),R=(0,r)$ とおく。

点 $P$ が線分 $QR$ を $1:2$ に内分するとは、$QP:PR=1:2$ ということである。したがって $$P={\displaystyle \frac{2Q+R}{3}}=({\displaystyle \frac{2q}{3}},{\displaystyle \frac{r}{3}})$$ である。よって $$q={\displaystyle \frac{3x}{2}},r=3y$$ となる。

接線の傾きは、切片表示から $$-{\displaystyle \frac{r}{q}}=-{\displaystyle \frac{3y}{{\displaystyle \frac{3x}{2}}}}=-{\displaystyle \frac{2y}{x}}$$ である。一方、曲線 $y=f(x)$ の接線の傾きは ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ なので $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{2y}{x}}$$ を得る。この式から$${\displaystyle \frac{d}{dx}}(x^{2}y)=2xy+x^2{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=2xy+x^2(-{\displaystyle \frac{2y}{x}})=0$$である。したがって $x^{2}y=C$ とおける。第1象限の曲線なので $C>0$ であり、$$y={\displaystyle \frac{C}{x^2}}$$ である。

次に条件(ii)を用いる。原点から曲線上の点 $(x,{\displaystyle \frac{C}{x^2}})$ までの距離の2乗を $R^2$ とすると $$R^2=x^2+{\displaystyle \frac{C^2}{x^4}}$$ である。$u=x^2$ とおけば $u>0$ で $$R^2=u+{\displaystyle \frac{C^2}{u^2}}$$ となる。この関数を $g(u)$ とすると $$g^{\mathrm{\prime }}(u)=1-{\displaystyle \frac{2C^2}{u^3}}$$ であるから、最小は $u^3=2C^2$ を満たすところで起こる。このとき $${\displaystyle \frac{C^2}{u^2}}={\displaystyle \frac{u}{2}}$$ なので $$R^2=u+{\displaystyle \frac{u}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}u$$ である。最小距離が $1$ だから最小の $R^2$ は $1$ であり、${\displaystyle \frac{3}{2}}u=1$ より $u={\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。さらに $u^3=2C^2$ から $$C^2={\displaystyle \frac{u^3}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^3={\displaystyle \frac{4}{27}}$$ である。$C>0$ より $$C={\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}}$$ となる。したがって $$f(x)={\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}{x}^2}}(x>0)$$ である。

内分点の公式から接線の2切片を $x,y$ で表し、接線の傾きと $dy\mathrm{/}dx$ を一致させて変数分離する。得られた曲線 $y=C\mathrm{/}{x}^2$ について、距離の2乗を3項の相加相乗平均で下から評価し、最小距離の条件から $C$ を決める。

曲線上の点を $P=(x,y)$、接線の軸との交点を$$Q=(q,0),R=(0,r)$$とする。$QP:PR=1:2$ なので内分点の公式から$$(x,y)=({\displaystyle \frac{2q}{3}},{\displaystyle \frac{r}{3}})\mathrm{.}$$よって$$q={\displaystyle \frac{3x}{2}},r=3y\mathrm{.}$$接線の傾きは$$-{\displaystyle \frac{r}{q}}=-{\displaystyle \frac{2y}{x}}$$だから$${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{2y}{x}}\mathrm{.}$$変数分離して$${\displaystyle \frac{dy}{y}}=-2{\displaystyle \frac{dx}{x}}$$を積分すると$$y={\displaystyle \frac{C}{x^2}}(C>0)$$を得る。

原点からの距離の2乗は$$R^2=x^2+{\displaystyle \frac{C^2}{x^4}}\mathrm{.}$$相加相乗平均を$${\displaystyle \frac{x^2}{2}},{\displaystyle \frac{x^2}{2}},{\displaystyle \frac{C^2}{x^4}}$$に用いると$$R^2\geqq 3\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{C^2}{4}}}\mathrm{.}$$等号を満たす正の $x$ が存在する。最小距離が1なので$$3\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{C^2}{4}}}=1.$$よって$$C={\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$したがって$$f(x)={\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}{x}^2}}(x>0)\mathrm{.}$$