北海道大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

表を $H$，裏を $T$ と書く．$x$ 座標は，それまでに出た表の回数に等しい．したがって直線 $x=2$ 上を長さ1以上通過するのは，表がちょうど2回出た状態で $T$ が出て，縦方向に1進むときである．

(1) $N=4$ のとき，条件を満たす列を直接数える．表が2回出た後に裏が出る必要があるので，該当する列は $HHTT,HHTH,HTHT,THHT$ の4通りである．全事象は $2^4=16$ 通りなので $$P_4={\displaystyle \frac{4}{16}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である．

(2) $N\geqq 3$ とする．補集合，すなわち直線 $x=2$ 上を縦に進まない列を数える．

まず，表の総数が0回または1回なら，そもそも $x=2$ に到達しない．このような列は $1+N$ 通りである．

次に，表が少なくとも2回出る場合を考える．2回目の表が出た直後に裏が出ると成功してしまうので，失敗するには次のどちらかでなければならない．

2回目の表が最後の試行で出る場合は，2回目の表の位置が $N$ であり，その前の $N-1$ 個の位置から1個だけ表を選ぶので $N-1$ 通りである．

2回目の表が $j$ 回目に出て，さらに $j+1$ 回目も表である場合を考える．ただし $2\leqq j\leqq N-1$ である．最初の $j-1$ 回のうち表は1回だけなので $j-1$ 通り，$j+1$ 回目の後は自由なので $2^{N-j-1}$ 通りである．したがってこの場合の総数は$$\sum _{j=2}^{N-1}(j-1)2^{N-j-1}$$である．

以上より失敗する列の総数は$$1+N+(N-1)+\sum _{j=2}^{N-1}(j-1)2^{N-j-1}$$である．ここで$$\sum _{j=2}^{N-1}(j-1)2^{N-j-1}=2^{N-1}-N$$だから，失敗する列の総数は $2^{N-1}+N$ となる．よって成功する確率は $$P_N=1-{\displaystyle \frac{2^{N-1}+N}{2^N}}={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{N}{2^N}}$$ である．

なお，上の和の公式は，$i=j-1$ とおいて$$\sum _{j=2}^{N-1}(j-1)2^{N-j-1}=2^{N-2}\sum _{i=1}^{N-2}{\displaystyle \frac{i}{2^i}}$$とし，$$\sum _{i=1}^m{\displaystyle \frac{i}{2^i}}=2-{\displaystyle \frac{m+2}{2^m}}$$を用いれば得られる．

(3) (2) の式から$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{N}{2^N}}=0$$であるため$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_N={\displaystyle \frac{1}{2}}$$である．

$x=2$ 上の成功区間

成功する列を直接数える．2回目の表が出る位置を $j$ とすると，成功にはその直後が裏であることが必要十分である．位置 $j$ ごとの個数を足して有限和を処理する．

表を $H$，裏を $T$ とする．直線 $x=2$ 上を長さ1進むための必要十分条件は，
「2回目の $H$ の直後に $T$ が出る」ことである．

(1)

$N=4$ では$$HHTH,HHTT,HTHT,THHT$$の4列が該当する．よって$$P_4={\displaystyle \frac{4}{2^4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$(2)

2回目の $H$ が $j$ 回目に出るとする．成功するには $2\leqq j\leqq N-1$ であり，
最初の $j-1$ 回のうち $H$ はちょうど1回，$j$ 回目は $H$，$j+1$ 回目は $T$ である．
残りの $N-j-1$ 回は自由だから，この場合の列は$$(j-1)2^{N-j-1}$$通りである．したがって成功列の総数は$$\sum _{j=2}^{N-1}(j-1)2^{N-j-1}\mathrm{.}$$$i=j-1$，$m=N-2$ とおくと$$\sum _{j=2}^{N-1}(j-1)2^{N-j-1}=2^{N-2}\sum _{i=1}^m{\displaystyle \frac{i}{2^i}}\mathrm{.}$$恒等式$$\sum _{i=1}^m{\displaystyle \frac{i}{2^i}}=2-{\displaystyle \frac{m+2}{2^m}}$$を用いれば，成功列は $2^{N-1}-N$ 通りである．よって$$P_N={\displaystyle \frac{2^{N-1}-N}{2^N}}={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{N}{2^N}}\mathrm{.}$$(3)$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{N}{2^N}}=0$$より$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_N={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$