北海道大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)

内接円の中心を $I$ とし、辺への接点を考える。半径が1なので、頂点 $A$ から接点までの長さは、直角三角形より $\cot {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ である。同様に、頂点 $B,C$ から接点までの長さはそれぞれ $\cot {\displaystyle \frac{\beta }{2}},\cot {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}$ である。

したがって三角形の半周長は $\cot {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+\cot {\displaystyle \frac{\beta }{2}}+\cot {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}$ である。内接円の半径が1であるから、面積は $$\text{面積}=\text{半周長}\times 1$$ となる。よって$$V=\cot {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+\cot {\displaystyle \frac{\beta }{2}}+\cot {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}$$である。

(2)

円の中心が三角形の周上を動くとき、その円が通る図形は、三角形の周から距離 $d$ 以下の点全体である。これを三角形の外側の部分と内側の部分に分けて求める。

まず外側を考える。三角形の周長は、半周長が $V$ であることから $2V$ である。各辺の外側に幅 $d$ の帯ができるので、その長方形部分の面積の和は $2dV$ である。さらに3つの頂点の外側には扇形ができる。頂点 $A,B,C$ における外側の角はそれぞれ $\pi -\alpha ,\pi -\beta ,\pi -\gamma$ であり、その和は $$3\pi -(\alpha +\beta +\gamma )=2\pi$$ である。したがって扇形部分の面積の和は $${\displaystyle \frac{1}{2}}{d}^2\cdot 2\pi =\pi d^2$$ である。よって外側の面積は $2dV+\pi d^2$ である。

次に内側を考える。三角形の内部で周から距離が $d$ より大きい部分は、もとの三角形と相似で、内接円の半径が $1-d$ である三角形である。相似比は $1-d$ なので、その面積は $(1-d{)}^{2}V$ である。したがって、内部で円が通る部分の面積は $V-(1-d{)}^{2}V=2dV-d^{2}V$ である。

以上より、求める図形 $S$ の面積は $$S=(2dV+\pi d^2)+(2dV-d^{2}V)$$ である。したがって $S=4dV+(\pi -V)d^2$ である。

外側平行体の面積から、内接円半径 $1-d$ の内側相似三角形を引く一式で帯の面積を求める。

(1)
内接円半径が1だから、面積 $V$ は半周長に等しい。各頂点から接点までの長さは$$\cot {\displaystyle \frac{\alpha }{2}},\cot {\displaystyle \frac{\beta }{2}},\cot {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}$$なので$$V=\cot {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+\cot {\displaystyle \frac{\beta }{2}}+\cot {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}\mathrm{.}$$(2)

外側平行体から内側平行体を引く。

三角形を $K$、周長を $L$ とする。$L=2V$ である。三角形から距離 $d$ 以下の外側平行体の面積は、3辺の帯と外角の扇形を加えて$$\mathrm{\mid }{K}_d\mathrm{\mid }=V+Ld+\pi d^2=V+2Vd+\pi d^2\mathrm{.}$$一方、三角形の内部で周からの距離が $d$ より大きい部分は、内接円半径が $1-d$ の相似三角形である。その面積は$$(1-d{)}^{2}V\mathrm{.}$$求める図形は外側平行体からこの内側部分を除いたものだから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }S\mathrm{\mid }}& {\displaystyle =V+2Vd+\pi d^2-(1-d{)}^{2}V}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4dV+(\pi -V)d^2\mathrm{.}}\end{array}$$