北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 確率理系数学 第5問(b)

(1)

3個のさいころの目の積が4で割り切れるかどうかは、積に含まれる2の因数の個数で決まる。4で割り切れないのは、2の因数が合計0個または1個の場合である。

すべての目が奇数である確率は $${\left({\displaystyle \frac{3}{6}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である。また、2の因数をちょうど1個だけ含むには、1個のさいころが $2$ または $6$ を出し、残り2個が奇数を出せばよい。したがってその確率は $$3\cdot {\displaystyle \frac{2}{6}}{\left({\displaystyle \frac{3}{6}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。よって余事象の確率は $${\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$$ であり、求める確率は $$P(A)=1-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$$ である。

(2)

1回の試行で $A$ が起こる確率は $5\mathrm{/}8$、起こらない確率は $3\mathrm{/}8$ である。4回のうち $A$ が2回以上起こる確率は、0回または1回起こる確率を1から引けばよい。したがって$$1-{\left({\displaystyle \frac{3}{8}}\right)}^4-{}_4{\mathrm{C}}_1{\displaystyle \frac{5}{8}}{\left({\displaystyle \frac{3}{8}}\right)}^3$$である。これを計算すると $$1-{\displaystyle \frac{81}{4096}}-{\displaystyle \frac{540}{4096}}={\displaystyle \frac{3475}{4096}}$$ である。

(3) $n$ 回の試行で事象 $A$ が起こる回数を $K$ とする。すると $K$ は成功確率 $5\mathrm{/}8$ の二項分布に従う。問題の確率変数は $X=3^K$ であるから$$E(X)=\sum _{k=0}^n{3}^k{}_n{\mathrm{C}}_k{\left({\displaystyle \frac{5}{8}}\right)}^k{\left({\displaystyle \frac{3}{8}}\right)}^{n-k}$$である。二項定理より$$E(X)=\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k{\left({\displaystyle \frac{15}{8}}\right)}^k{\left({\displaystyle \frac{3}{8}}\right)}^{n-k}={({\displaystyle \frac{15}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{8}})}^n={\left({\displaystyle \frac{9}{4}}\right)}^n$$である。

1個のさいころが積へ供給する2の指数を母関数で記録する。3個分の0次・1次係数から $P(A)$ を得た後、反復回数については確率母関数を $s=3$ で評価して期待値を一度に出す。

(1)

1個のさいころの目に含まれる2の指数を、2以上はまとめて記録すると、母関数は$$h(u)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}u+{\displaystyle \frac{1}{6}}{u}^2\mathrm{.}$$3個の積が4で割り切れない確率は、$h(u{)}^3$ の0次と1次の係数の和である。これは$${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3+3{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{3}{8}}\mathrm{.}$$したがって$$P(A)=1-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{5}{8}}\mathrm{.}$$(2)

4回中の成功回数を $K$ とすると $$K\sim \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(4,5\mathrm{/}8)$$。よって$$P(K\geqq 2)=1-P(K=0)-P(K=1)$$$$=1-{\left({\displaystyle \frac{3}{8}}\right)}^4-4\cdot {\displaystyle \frac{5}{8}}{\left({\displaystyle \frac{3}{8}}\right)}^3={\displaystyle \frac{3475}{4096}}\mathrm{.}$$(3)

1回分の成功指示変数を $I$ とすれば$$E(3^I)={\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot 1+{\displaystyle \frac{5}{8}}\cdot 3={\displaystyle \frac{9}{4}}\mathrm{.}$$各回は独立で、$K=I_1+\cdots +I_n$ だから$$E(X)=E(3^K)=E(3^{I_1})E(3^{I_2})\cdots E(3^{I_n})={\left({\displaystyle \frac{9}{4}}\right)}^n\mathrm{.}$$