北海道大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $n+1$ 回目に負ける場合を考える。負けを付け加えても連勝は新しく生じないので、$n$ 回目が負けで終わっていても勝ちで終わっていてもよい。負ける確率は $1-a$ だから $a_{n+1}=(1-a)(a_n+b_n)$ である。

次に、$n+1$ 回目に勝つ場合を考える。連勝を避けるには、$n$ 回目は負けで終わっていなければならない。したがって $b_{n+1}=a{a}_n$ である。

よって $$a_{n+1}=(1-a)(a_n+b_n),b_{n+1}=a{a}_n$$ である。

(2)

(1) の2つ目の式を $n+1$ に対して使うと $b_{n+2}=a{a}_{n+1}$ である。ここに (1)の1つ目の式を代入すると $b_{n+2}=a(1-a)(a_n+b_n)$ となる。

また (1)より $b_{n+1}=a{a}_n$ である。したがって $a(1-a)a_n=(1-a)b_{n+1}$ であり、先ほどの式は $$b_{n+2}=(1-a)b_{n+1}+a(1-a)b_n$$ と書ける。すべて左辺に移すと $$b_{n+2}+(a-1)b_{n+1}+a(a-1)b_n=0$$ である。

なお、$a=0$ や $a=1$ の端の場合も、上の遷移式そのものは確率の意味に沿って成り立つ。

末尾が負け・勝ちの2状態を遷移行列で表し、特性方程式から指定された2階漸化式を得る。

(1)

2状態の遷移行列を作る。$${\mathit{v}}_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$$とおく。最後が負けの列には、直前の勝敗のどちらからも確率 $1-a$ で移る。最後が勝ちの列には、直前が負けのときだけ確率 $a$ で移る。したがって$${\mathit{v}}_{n+1}=\left(\begin{array}{cc}1-a& 1-a\\ a& 0\end{array}\right){\mathit{v}}_n\mathrm{.}$$すなわち$$a_{n+1}=(1-a)(a_n+b_n),b_{n+1}=a{a}_n\mathrm{.}$$(2)

遷移行列の特性方程式を使う。

遷移行列を $T$ とすると$$\det (\lambda I-T)={\lambda }^2-(1-a)\lambda -a(1-a)\mathrm{.}$$Cayley--Hamiltonの関係$$T^2-(1-a)T-a(1-a)I=O$$を ${\mathit{v}}_n$ に作用させれば$${\mathit{v}}_{n+2}-(1-a){\mathit{v}}_{n+1}-a(1-a){\mathit{v}}_n=\mathbf{0}\mathrm{.}$$第2成分を取ると$$b_{n+2}+(a-1)b_{n+1}+a(a-1)b_n=0.$$