北海道大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

与えられた式 $${\int }_{-x}^{x}f(t)dt=a\sin x+b\cos x$$ に $x=0$ を代入すると、左辺は0であり、右辺は $b$ である。よって $b=0$ である。

次に両辺を $x$ で微分する。左辺は上端と下端の両方が動くので $${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_{-x}^{x}f(t)dt=f(x)+f(-x)$$ である。右辺は、$b=0$ より $a\cos x$ である。したがって $f(x)+f(-x)=a\cos x$ を得る。ここで $x=0$ とすると $2f(0)=a$ であり、$f(0)=1$ だから $a=2$ である。よって $a=2,b=0$ である。

(2)

(1) より $f(x)+f(-x)=2\cos x$ である。$g(x)=f(x)-\cos x$ とおくと、$$g(x)+g(-x)=\{f(x)-\cos x\}+\{f(-x)-\cos (-x)\}$$ である。$\cos (-x)=\cos x$ だから $$g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-2\cos x=0$$ となる。したがって $g(-x)=-g(x)$ であり、$g(x)$ は奇関数である。

(3) $f(t)=\cos t+g(t)$ と書くと $$f(t{)}^2={\cos }^{2}t+2\cos tg(t)+g(t{)}^2$$ である。$\cos t$ は偶関数、$g(t)$ は奇関数なので、$\cos tg(t)$ は奇関数である。したがって $x\geqq 0$ のとき $${\int }_{-x}^{x}2\cos tg(t)dt=0$$ である。

よって$${\int }_{-x}^{x}f(t{)}^{2}dt={\int }_{-x}^x{\cos }^{2}tdt+{\int }_{-x}^{x}g(t{)}^{2}dt$$である。最後の積分は被積分関数が常に0以上なので $${\int }_{-x}^{x}g(t{)}^{2}dt\geqq 0$$ である。したがって $${\int }_{-x}^{x}f(t{)}^{2}dt\geqq {\int }_{-x}^x{\cos }^{2}tdt$$ が成り立つ。

積分方程式から $f$ の偶関数部分を抽出し、偶奇分解の直交性で平方積分の不等式を示す。

(1)

偶関数部分を取り出す。$$F(x)={\int }_{-x}^{x}f(t)dt$$は $F(0)=0$ だから、右辺へ $x=0$ を代入して$$b=0.$$また$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)+f(-x)=a\cos x\mathrm{.}$$$x=0$ では $2f(0)=a$ だから$$a=2.$$(2)
上式より$${\displaystyle \frac{f(x)+f(-x)}{2}}=\cos x\mathrm{.}$$すなわち $f$ の偶関数部分は $\cos x$ である。したがって$$g(x)=f(x)-\cos x$$は $f$ の奇関数部分であり、$$g(-x)=-g(x)\mathrm{.}$$(3)

偶奇分解の直交性を使う。

対称区間上では偶関数と奇関数の積の積分は0である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-x}^{x}f(t{)}^{2}dt}& {\displaystyle ={\int }_{-x}^x\{\cos t+g(t){\}}^{2}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-x}^x{\cos }^{2}tdt+{\int }_{-x}^{x}g(t{)}^{2}dt\mathrm{.}}\end{array}$$最後の項は非負だから$${\int }_{-x}^{x}f(t{)}^{2}dt\geqq {\int }_{-x}^x{\cos }^{2}tdt(x\geqq 0)\mathrm{.}$$