北海道大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
三角形 $OPQ$ は $x\geqq 0$、$y\geqq 0$、$x+y\leqq a$ で表され、線分 $PQ$ は $x+y=a$ である。円の中心 $A(1,1)$ からこの直線までの距離は $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+1-a\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2-a\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}$$ である。線分 $PQ$ が円周と交わるためには、この距離が半径 $1$ 以下であればよい。実際、円は $0\leqq x\leqq 2$、$0\leqq y\leqq 2$ にあり、交点が存在すれば第1象限上で線分 $PQ$ 上に乗る。したがって ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2-a\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}\leqq 1$ より $$2-\sqrt{2}\leqq a\leqq 2+\sqrt{2}$$ である。

(2)
直線 $x+y=a$ は円を2点、または接する1点で切る。$R$ ともう一方の交点を $S$ とする。三角形は直線 $x+y=a$ の原点側であり、$a=2-\sqrt{2}$ では接点だけ、$a=2+\sqrt{2}$ では円全体を含むので、共通部分は弦 $RS$ と円周で囲まれる原点側の弓形である。 $\mathrm{\angle }OAR=\theta$ であるから、$AO$ を基準に左右対称な2本の半径 $AR,AS$ のなす中心角は $2\theta$ である。半径は $1$ なので、扇形 $ARS$ の面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1^2\cdot 2\theta =\theta$$ である。また、二等辺三角形 $ARS$ の面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1\cdot 1\cdot \sin 2\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta$$ である。したがって求める面積は $\theta -{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta$ である。端の場合 $\theta =0,\pi$ でも、それぞれ面積 $0$、$\pi$ となり同じ式で成り立つ。

(3)
交点は直線 $x+y=a$ 上にあるので、$x+y-2=a-2$ である。中心 $A$ から直線に下ろした垂線の足は $M({\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{a}{2}})$ であり、$AM$ の長さは $\mathrm{\mid }a-2\mathrm{\mid }\mathrm{/}\sqrt{2}$ である。弦の半長は$$\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{a-2}{\sqrt{2}}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sqrt{2-(a-2{)}^2}$$である。弦の方向は $(1,-1)$ 方向だから、$P(a,0)$ に近い方の交点 $R$ は $x$ 座標が大きい方である。よって$$R({\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2-(a-2{)}^2},{\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2-(a-2{)}^2})$$である。

次に、$AR$ は半径なので長さ $1$、$AO=(-1,-1)$ の長さは $\sqrt{2}$ である。また $R=(x_R,y_R)$ とすると、$x_R+y_R=a$ より$$\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AR}=(-1,-1)\cdot (x_R-1,y_R-1)=2-a$$である。したがって$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AR}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{AO}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{AR}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{2-a}{\sqrt{2}}}$$である。

中心 $A$ を原点とする45度回転座標を使う。円は単位円，線分 $PQ$ は1本の縦線になるため，交点条件，$R$ の符号，弓形の中心角を同じ図から読める。

中心 $A=(1,1)$ を原点として$$u={\displaystyle \frac{x+y-2}{\sqrt{2}}},v={\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{2}}}$$とおく。円は$$u^2+v^2=1$$となり，直線 $PQ$ は$$u={\displaystyle \frac{a-2}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$(1)

交点が存在する条件は$$\mid {\displaystyle \frac{a-2}{\sqrt{2}}}\mid \leqq 1,$$すなわち$$2-\sqrt{2}\leqq a\leqq 2+\sqrt{2}\mathrm{.}$$(2)

$AO$ は負の $u$ 軸方向である。$P$ に近い交点 $R$ ともう一方の交点はこの軸に関して対称で，原点側の弓形の中心角は $2\theta$ である。したがって共通部分の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\theta -{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta =\theta -{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta \mathrm{.}$$(3)

$P$ に近い点では $v\geqq 0$ なので$$u={\displaystyle \frac{a-2}{\sqrt{2}}},v=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{(a-2{)}^2}{2}}}\mathrm{.}$$元の座標へ戻すと$$R=({\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2-(a-2{)}^2},{\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2-(a-2{)}^2})\mathrm{.}$$また $AO$ は負の $u$ 軸方向だから$$\cos \theta =-u={\displaystyle \frac{2-a}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$