北海道大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

楕円 $${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$$ 上の点を $$x=2\cos t,y=\sin t$$ とおく。点 $(x,y)$ から直線 $x-2\sqrt{3}y+8=0$ までの距離は$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x-2\sqrt{3}y+8\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+(-2\sqrt{3}{)}^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x-2\sqrt{3}y+8\mathrm{\mid }}{\sqrt{13}}}$$である。

ここで $$x-2\sqrt{3}y+8=2\cos t-2\sqrt{3}\sin t+8=4\cos (t+{60}^{\circ })+8$$ である。$4\cos (t+{60}^{\circ })+8$ は最小でも $4$ なので正である。したがって距離は ${\displaystyle \frac{8+4\cos (t+{60}^{\circ })}{\sqrt{13}}}$ である。

最大は $\cos (t+{60}^{\circ })=1$ のときで，値は ${\displaystyle \frac{12}{\sqrt{13}}}$ である。このとき $t+{60}^{\circ }=0^{\circ }$ と取れば$$P=(2\cos (-{60}^{\circ }),\sin (-{60}^{\circ }))=(1,-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\mathrm{.}$$最小は $\cos (t+{60}^{\circ })=-1$ のときで，値は ${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{13}}}$ である。このとき $t+{60}^{\circ }={180}^{\circ }$ と取れば $$P=(2\cos {120}^{\circ },\sin {120}^{\circ })=(-1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\mathrm{.}$$

楕円を単位円へ変換し、距離の分子に現れる一次式をコーシー・シュワルツの不等式で直接評価する。

$X=x\mathrm{/}2$ とおくと $X^2+y^2=1$ である。距離の分子は $$2X-2\sqrt{3}y+8=2(X-\sqrt{3}y)+8$$ である。単位円上で $X-\sqrt{3}y$ の最大値は $2$，最小値は $-2$ なので，分子の最大・最小は $12,4$ である。等号はそれぞれ $(X,y)=(1\mathrm{/}2,-\sqrt{3}\mathrm{/}2)$，$(X,y)=(-1\mathrm{/}2,\sqrt{3}\mathrm{/}2)$ で成り立ち，同じ座標が得られる。