北海道大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

下側の境界は $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$、上側の境界は $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+3$ である。交点を求める。$x\geqq 0$ では $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+3$ より $x^2+2x-6=0$ であるから、正の解は $x=\sqrt{7}-1$ である。$x\leqq 0$ では $-x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+3$ より $x^2-2x-6=0$ であるから、負の解は $x=1-\sqrt{7}$ である。

したがって領域 $D$ は $$1-\sqrt{7}\leqq x\leqq \sqrt{7}-1$$ の範囲で、下側を $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$、上側を $y=-x^2\mathrm{/}2+3$ で挟まれた部分である。

(2)

放物線 $y=-x^2\mathrm{/}2+3$ の $x=t$ における接線を求める。導関数は $-x$ なので、接線は $$y=-t(x-t)-{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2+3=-tx+{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2+3$$ である。これが $A(-7\mathrm{/}2,0)$ を通るためには $$0={\displaystyle \frac{7}{2}}t+{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2+3$$ でなければならない。すなわち $t^2+7t+6=0$ であり、$t=-1,-6$ を得る。接点が領域 $D$ の $x$ の範囲にあるのは $t=-1$ の方である。したがって $$B=(-1,{\displaystyle \frac{5}{2}})$$ である。

直線 $AB$ は傾き1で、方程式は $y=x+{\displaystyle \frac{7}{2}}$ である。したがって直線 $AB$ と点 $P(x,y)$ の距離は ${\displaystyle \frac{x-y+7\mathrm{/}2}{\sqrt{2}}}$ である。また$$AB=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}$$であるから、三角形 $ABP$ の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{x-y+7\mathrm{/}2}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{5}{4}}(x-y+{\displaystyle \frac{7}{2}})$$である。

よって $D$ 上で $x-y$ を最大にすればよい。$D$ では $y\geqq \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ であるから、$x\geqq 0$ なら $x-y\leqq x-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=0$ であり、$x<0$ なら $x-y\leqq x-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=2x<0$ である。したがって最大値は $x-y=0$ であり、これは下側境界 $y=x$、$0\leqq x\leqq \sqrt{7}-1$ 上で実現する。

したがって面積の最大値は $${\displaystyle \frac{5}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{2}}={\displaystyle \frac{35}{8}}$$ である。

(3) ${\displaystyle \frac{y}{x+7\mathrm{/}2}}$ は、点 $A(-7\mathrm{/}2,0)$ と点 $(x,y)$ を結ぶ直線の傾きである。領域 $D$ では $x+7\mathrm{/}2>0$、$y\geqq 0$ なので、この値は0以上である。実際、$(0,0)\in D$ で値0をとる。

最大値を調べるには、点 $A$ から領域 $D$ へ引いた直線の傾きの最大を考えればよい。下側境界 $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ 上では傾きは1未満である。上側境界上では $$g(x)={\displaystyle \frac{-x^2\mathrm{/}2+3}{x+7\mathrm{/}2}}$$ を考える。微分すると$$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{7}{2}}x-3}{(x+7\mathrm{/}2{)}^2}}=-{\displaystyle \frac{(x+1)(x+6)}{2(x+7\mathrm{/}2{)}^2}}$$である。領域の $x$ の範囲では、$x=-1$ で最大となる。そこで $$g(-1)={\displaystyle \frac{5\mathrm{/}2}{5\mathrm{/}2}}=1$$ である。

よって求める範囲は $$0\leqq {\displaystyle \frac{y}{x+7\mathrm{/}2}}\leqq 1$$ である。

面積は座標の行列式で直接表し，(3)は点 $A$ を通る直線の傾きとして処理する。最大傾きは領域を横切る直線が上側放物線へ接するときに生じるので，(2)で求めた接線を再利用できる。

(1)

$y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ と $y=-x^2\mathrm{/}2+3$ の交点は$$x=1-\sqrt{7},x=\sqrt{7}-1$$である。したがって $D$ はこの2曲線に挟まれた閉領域である。

(2)

放物線の $x=t$ における接線は$$y=-tx+{\displaystyle \frac{t^2}{2}}+3.$$これが $A=(-7\mathrm{/}2,0)$ を通る条件は$$t^2+7t+6=0.$$接点が $D$ の範囲に入る解は $t=-1$ だけなので，$$B=(-1,{\displaystyle \frac{5}{2}})\mathrm{.}$$$P=(x,y)$ とすると$$\overrightarrow{AB}=({\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{5}{2}}),\overrightarrow{AP}=(x+{\displaystyle \frac{7}{2}},y)\mathrm{.}$$よって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle [\mathrm{△}ABP]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \det \left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{5}{2}}& {\displaystyle \frac{5}{2}}\\ x+{\displaystyle \frac{7}{2}}& y\end{array}\right)\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5}{4}}(x-y+{\displaystyle \frac{7}{2}})\mathrm{.}}\end{array}$$$D$ では $y\geqq \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ だから $x-y\leqq 0$，等号は $y=x$，$x\geqq 0$ の部分で成立する。したがって最大値は$${\displaystyle \frac{35}{8}}\mathrm{.}$$(3)$${\displaystyle \frac{y}{x+{\displaystyle \frac{7}{2}}}}$$は $A$ と $(x,y)$ を結ぶ直線の傾きである。最小値0は $(0,0)$ でとる。傾きを増やした直線が $D$ と最後に共有点をもつのは，上側放物線へ接するときである。(2)の接線 $AB$ の傾きは1なので最大値は1である。よって値域は$$0\leqq {\displaystyle \frac{y}{x+{\displaystyle \frac{7}{2}}}}\leqq 1.$$