北海道大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

積が3の倍数でないのは、$n$ 回の記録の中に3が一度も出ない場合である。1回で3以外が出る確率は $3\mathrm{/}4$ なので$$\mathrm{P}(\text{3が一度も出ない})={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n$$である。したがって $$a_n=1-{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n$$ である。

次に $b_n$ を求める。積が4の倍数でないのは、積に含まれる因数2の個数が0個または1個の場合である。カード1と3は因数2を含まず、カード2は因数2を1個、カード4は因数2を2個含む。

因数2が0個の場合は、毎回1または3が出る場合であり、確率は ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$ である。因数2が1個の場合は、ちょうど1回だけ2が出て、残りは1または3が出る場合である。したがって確率は$${}_n{\mathrm{C}}_1\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}={\displaystyle \frac{n}{2^{n+1}}}$$である。

よって積が4の倍数でない確率は $${\displaystyle \frac{1}{2^n}}+{\displaystyle \frac{n}{2^{n+1}}}={\displaystyle \frac{n+2}{2^{n+1}}}$$ である。したがって $$b_n=1-{\displaystyle \frac{n+2}{2^{n+1}}}$$ である。

(2)

(1) の結果より、$b_n>a_n$ は $$1-{\displaystyle \frac{n+2}{2^{n+1}}}>1-{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n$$ と同値である。整理すると $${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n>{\displaystyle \frac{n+2}{2^{n+1}}}$$ であり、両辺に $2^{n+1}$ を掛けると $$2{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n>n+2$$ となる。

この不等式を $n\geqq 2$ で帰納法により示す。$n=2$ では $$2{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{9}{2}}>4$$ であり、成り立つ。

ある $n\geqq 2$ で $$2{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n>n+2$$ が成り立つと仮定する。このとき$$2{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{n+1}={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot 2{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n>{\displaystyle \frac{3}{2}}(n+2)$$である。さらに $${\displaystyle \frac{3}{2}}(n+2)-(n+3)={\displaystyle \frac{n}{2}}>0$$ だから $$2{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{n+1}>n+3$$ である。よって帰納法により、すべての $n\geqq 2$ で $b_n>a_n$ が成り立つ。

積に含まれる素因数2の個数を状態0・状態1・状態2以上に分ける。状態0と状態1の確率に漸化式を立てて $b_n$ を求める。最後の大小比較は問題の指定どおり同じ帰納命題へ帰着する。

(1)

3を一度も引かない確率は $(3\mathrm{/}4{)}^n$ なので$$a_n=1-{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n\mathrm{.}$$積に含まれる素因数2の個数が0個である確率を $u_n$，ちょうど1個である確率を $v_n$ とする。0個のままであるには毎回1または3を引く必要があるから$$u_n={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\mathrm{.}$$最後の1回で状態1になる方法を分けると$$v_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}{u}_n,v_1={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$この漸化式へ $u_n=2^{-n}$ を代入し，帰納法で$$v_n={\displaystyle \frac{n}{2^{n+1}}}$$を得る。積が4の倍数でないのは状態0または状態1なので$$b_n=1-u_n-v_n=1-{\displaystyle \frac{n+2}{2^{n+1}}}\mathrm{.}$$(2)

$b_n>a_n$ は$$2{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n>n+2$$と同値である。$n=2$ では左辺は $9\mathrm{/}2$ で，右辺4より大きい。

$n\geqq 2$ で成立すると仮定すると，$$2{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{n+1}>{\displaystyle \frac{3}{2}}(n+2)\mathrm{.}$$しかも$${\displaystyle \frac{3}{2}}(n+2)-(n+3)={\displaystyle \frac{n}{2}}>0$$だから，$n+1$ の場合も成立する。よって数学的帰納法により，すべての $n\geqq 2$ で $b_n>a_n$ である。