北海道大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
共有点では $y=a{x}^2+b$ かつ $x^2+y^2=r^2$ である。これを代入すると $x^2+(a{x}^2+b{)}^2=r^2$ である。ここで $u=x^2(u\geqq 0)$ とおくと $$a^2{u}^2+(2ab+1)u+b^2-r^2=0$$ を得る。

条件 $0<r<-b$ から、まず $b<0$ である。また $r<-b$ なので $b^2-r^2>0$ であり、上のuの2次方程式の定数項は正である。

正の異なる2根をもつと、各正の根 $u$ から $$x=\pm \sqrt{u}$$ が出るため、共有点は4つになる。負の根は共有点を与えない。したがって共有点がちょうど2つになるには、uの方程式が正の重解をもつ必要がある。

判別式を0とすると $$(2ab+1{)}^2-4a^2(b^2-r^2)=0$$ である。整理すると $4ab+1+4a^2{r}^2=0$ すなわち $$r^2=-{\displaystyle \frac{4ab+1}{4a^2}}$$ である。また重解は $$u=-{\displaystyle \frac{2ab+1}{2a^2}}$$ であるから、これが正である条件は $2ab+1<0$ すなわち $ab<-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

この条件と $b<0$ から $a>0$ である。また $$r^2=-{\displaystyle \frac{4ab+1}{4a^2}}>0$$ であり、さらに $$b^2-r^2=b^2+{\displaystyle \frac{4ab+1}{4a^2}}={\displaystyle \frac{(2ab+1{)}^2}{4a^2}}>0$$ なので $r<-b$ も満たされる。

したがって求める条件は $$b<0,ab<-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

(2)
(1)の条件から $b<0$、$a>0$ である。そこで $c=-b(c>0)$ とおくと、条件 $ab<-1\mathrm{/}2$ は $ac>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ となる。求めたい量は $a^2+b^2=a^2+c^2$ である。

相加相乗平均より $a^2+c^2\geqq 2ac$ である。ここで $ac>1\mathrm{/}2$ だから $a^2+c^2>1$ である。

逆に、任意の $T>1$ に対して $$a=c=\sqrt{{\displaystyle \frac{T}{2}}}$$ とおけば $a^2+c^2=T$ であり、$$ac={\displaystyle \frac{T}{2}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ を満たす。このとき $b=-c<0$ とすれば(1)の条件を満たす。

したがって $a^2+b^2$ の値の範囲は $a^2+b^2>1$ である。

半径平方 $R(u)=u+(au+b{)}^2$

円との共有点での半径平方を $u=x^2$ の関数 $R(u)=u+(au+b{)}^2$ と見る。ちょうど2点で交わることを、$u>0$ における $R$ の最小値へ水平線が接する条件に読み替える。

(1)

放物線上で $u=x^2\geqq 0$ と置くと、原点からの距離の平方は$$R(u)=u+(au+b{)}^2=a^2{u}^2+(2ab+1)u+b^2\mathrm{.}$$条件 $0<r<-b$ から $b<0$ であり、$r^2<b^2=R(0)$ である。

円 $x^2+y^2=r^2$ とちょうど2点で交わるには、方程式 $R(u)=r^2$ が正の重解 $u_{\ast }$ をもてばよい。$R$ は上に凸で、その頂点は$$u_{\ast }=-{\displaystyle \frac{2ab+1}{2a^2}}\mathrm{.}$$これが正である条件は$$ab<-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$このとき $b<0$ と合わせて $a>0$ であり、$$r^2=R(u_{\ast })=-{\displaystyle \frac{4ab+1}{4a^2}}>0.$$さらに$$b^2-r^2={\displaystyle \frac{(2ab+1{)}^2}{4a^2}}>0$$なので $r<-b$ も満たす。ゆえに必要十分条件は$$b<0,ab<-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2)

$c=-b>0$ と置くと条件は $ac>1\mathrm{/}2$ である。したがって$$a^2+b^2=a^2+c^2\geqq 2ac>1.$$逆に任意の $T>1$ に対し$$a=c=\sqrt{{\displaystyle \frac{T}{2}}},b=-c$$と取れば、$a^2+b^2=T$ かつ $ac=T\mathrm{/}2>1\mathrm{/}2$ を満たす。よって値の範囲は$$a^2+b^2>1$$である。