北海道大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$f(0)=0$ より $f(x)=A{x}^2+Bx$ とおける。条件 $f(-1)=-1$ から $A-B=-1$ である。したがって $B=A+1$ である。

また $g(0)=0$ より $g(x)=C{x}^2+Dx$ とおける。条件 $g(1)=0$ から $C+D=0$ である。さらに $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2Ax+B,g^{\mathrm{\prime }}(x)=2Cx+D$$ だから、$f^{\mathrm{\prime }}(0)=g^{\mathrm{\prime }}(0)$ より $B=D$ である。

以上から $$B=A+1,D=A+1,C=-(A+1)$$ である。したがって $$f(x)=A{x}^2+(A+1)x,g(x)=-(A+1)x^2+(A+1)x$$ と表せる。

このとき $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2Ax+A+1,g^{\mathrm{\prime }}(x)=(A+1)(1-2x)$$ である。求める積分を $I(A)$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I(A)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^0(2Ax+A+1{)}^{2}dx+{\int }_0^1\{(A+1)(1-2x){\}}^{2}dx}\end{array}$$である。

まず$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^0(2Ax+A+1{)}^{2}dx}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^0\{4A^2{x}^2+4A(A+1)x+(A+1{)}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4A^2}{3}}-2A(A+1)+(A+1{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{A^2}{3}}+1}\end{array}$$である。また $${\int }_0^1(1-2x{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ より $${\int }_0^1\{(A+1)(1-2x){\}}^{2}dx={\displaystyle \frac{(A+1{)}^2}{3}}$$ である。したがって $$I(A)={\displaystyle \frac{A^2}{3}}+1+{\displaystyle \frac{(A+1{)}^2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}(A^2+A+2)$$ である。

平方完成すると $$A^2+A+2={(A+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{7}{4}}$$ であるから、$I(A)$ は $A=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき最小となる。このとき $$B=A+1={\displaystyle \frac{1}{2}},C=-(A+1)=-{\displaystyle \frac{1}{2}},D={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

よって求める2次関数は $$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x,g(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x$$ である。

最小時の導関数

共通の初期傾き $p=f^{\mathrm{\prime }}(0)=g^{\mathrm{\prime }}(0)$ を唯一の変数として2つの二次関数を表す。積分値を $p$ の二次式に整理し、平方完成して最小点を決める。

共通の傾きを$$p=f^{\mathrm{\prime }}(0)=g^{\mathrm{\prime }}(0)$$と置く。$f(0)=0$ より $f(x)=A{x}^2+px$ であり、$f(-1)=-1$ から $A=p-1$ である。同様に $g(0)=g(1)=0$ と $g^{\mathrm{\prime }}(0)=p$ から$$g(x)=-p{x}^2+px$$である。したがって$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(p-1)x+p,g^{\mathrm{\prime }}(x)=p(1-2x)\mathrm{.}$$求める積分値を $I(p)$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I(p)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^0\{2(p-1)x+p{\}}^{2}dx+{\int }_0^1{p}^2(1-2x{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}(p^2-p+2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}\{{(p-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{7}{4}}\}\mathrm{.}}\end{array}$$よって最小となるのは $p=1\mathrm{/}2$ のときである。このとき$$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x,g(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x\mathrm{.}$$なお、条件を満たす二次関数の組は $p$ ごとに一意なので、これが唯一の最小解である。