北海道大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
点 $C$ は $C=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ であるから、直線 $AC$ の方向ベクトルは $C-A=(x_2,y_2)$ である。したがって直線 $AC$ は $$(x,y)=(x_1,y_1)+t(x_2,y_2)$$ と表せる。

直線 $AC$ とy軸との交点を $E$ とする。$E$ では $x=0$ であるから $x_1+t{x}_2=0$ より、$x_2\mathrm{\ne }0$ を用いて $$t=-{\displaystyle \frac{x_1}{x_2}}$$ である。したがって $$E=(0,y_1-{\displaystyle \frac{x_1{y}_2}{x_2}})$$ である。

また $D=(x_2,0)$ なので $$OD=\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid },OE=\mid y_1-{\displaystyle \frac{x_1{y}_2}{x_2}}\mid$$ である。三角形 $ODE$ は直角三角形だから$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }\mid y_1-{\displaystyle \frac{x_1{y}_2}{x_2}}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }{x}_2{y}_1-x_1{y}_2\mathrm{\mid }$$である。

(2)
楕円 $L$ 上の点を $$A=(a\cos u,b\sin u),B=(a\cos v,b\sin v)$$ とおく。このとき(1)より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid a\cos v\cdot b\sin u-a\cos u\cdot b\sin v\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{ab}{2}}\mathrm{\mid }\sin u\cos v-\cos u\sin v\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{ab}{2}}\mathrm{\mid }\sin (u-v)\mathrm{\mid }}\end{array}$$である。したがって $$S\leqq {\displaystyle \frac{ab}{2}}$$ である。

等号は $\mathrm{\mid }\sin (u-v)\mathrm{\mid }=1$ のとき、すなわち $u-v$ が ${90}^{\circ }$ または $-{90}^{\circ }$ だけずれるときに成り立つ。たとえば $B=(a,0)$、$A=(0,b)$ とすれば条件 $x_2\mathrm{\ne }0$ も満たし、最大値を実現できる。よって最大値は ${\displaystyle \frac{ab}{2}}$ である。

(3)
(2)で最大値をとるとき $\mathrm{\mid }\sin (u-v)\mathrm{\mid }=1$ である。したがって $\cos (u-v)=0$ である。

点 $C$ の座標を $(X,Y)$ とすると $$X=a(\cos u+\cos v),Y=b(\sin u+\sin v)$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\left({\displaystyle \frac{X}{a}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{Y}{b}}\right)}^2}& {\displaystyle =(\cos u+\cos v{)}^2+(\sin u+\sin v{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\cos }^{2}u+{\sin }^{2}u+{\cos }^{2}v+{\sin }^{2}v}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2(\cos u\cos v+\sin u\sin v)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+2\cos (u-v)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2}\end{array}$$である。したがって $${\left({\displaystyle \frac{X}{\sqrt{2}a}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{Y}{\sqrt{2}b}}\right)}^2=1$$ であり、点 $C$ は指定された楕円上にある。

行列式が表す面積

楕円を単位円からの線形変換とみなし、(1)の量を行列式による三角形の面積として解釈する。最大時には変換前の2本の半径が直交し、その和ベクトルの長さが $\sqrt{2}$ になることから(3)を一続きに示す。

(1)

$A=(x_1,y_1)$, $B=(x_2,y_2)$ とする。直線 $AC$ の方向ベクトルは $B$ であるから$$E=(0,y_1-{\displaystyle \frac{x_1{y}_2}{x_2}})\mathrm{.}$$したがって$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }OD\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }OE\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }{x}_2{y}_1-x_1{y}_2\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$(2)

線形変換$$T(u,v)=(au,bv)$$は単位円を楕円 $L$ へ移し、面積を $ab$ 倍する。$A=T(A_0),B=T(B_0)$ とすれば$$S={\displaystyle \frac{ab}{2}}\mathrm{\mid }\det (A_0,B_0)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$$A_0,B_0$ は単位ベクトルなので$$\mathrm{\mid }\det (A_0,B_0)\mathrm{\mid }\leqq 1.$$等号は $A_0\perp B_0$ のときに実現する。よって$$\max S={\displaystyle \frac{ab}{2}}\mathrm{.}$$(3)

最大時には $A_0\perp B_0$ である。$C=A+B=T(A_0+B_0)$ だから、$C=(X,Y)$ と書けば$${\left({\displaystyle \frac{X}{a}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{Y}{b}}\right)}^2=\mathrm{\mid }{A}_0+B_0{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }{A}_0{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }{B}_0{\mathrm{\mid }}^2+2A_0\cdot B_0=2.$$したがって$${\left({\displaystyle \frac{X}{\sqrt{2}a}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{Y}{\sqrt{2}b}}\right)}^2=1$$であり、$C$ は指定された楕円上にある。