北海道大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$f(x)=a{x}^2+bx+c$ であるから $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax+b$ である。したがって定数項 $c$ は2つの条件に現れない。

まず$${\int }_0^1(2ax+b)(px+q)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}$$を計算する。被積分関数を展開すると $$(2ax+b)(px+q)=2ap{x}^2+(2aq+bp)x+bq$$ であるから、$${\displaystyle \frac{2a}{3}}p+{\displaystyle \frac{2aq+bp}{2}}+bq={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ となる。すなわち
\begin{equation*}
\left(\dfrac{2a}{3}+\dfrac b2\right)p+(a+b)q=\dfrac12 　　(1)
\end{equation*}
である。

次に$${\int }_{-1}^1(2ax+b)(px+q)dx=0$$を計算する。奇関数の項は積分すると0になるので、$${\int }_{-1}^{1}2ap{x}^{2}dx+{\int }_{-1}^{1}bqdx=0$$である。よって
\begin{equation*}
\dfrac{4a}{3}p+2bq=0 　　(2)
\end{equation*}
を得る。

したがって $p,q$ は連立一次方程式$$\{\begin{array}{l}({\displaystyle \frac{2a}{3}}+{\displaystyle \frac{b}{2}})p+(a+b)q={\displaystyle \frac{1}{2}},\\ {\displaystyle \frac{4a}{3}}p+2bq=0\end{array}$$を満たす必要がある。この係数行列の行列式を $D$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{2a}{3}}+{\displaystyle \frac{b}{2}})2b-(a+b){\displaystyle \frac{4a}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{4ab}{3}}+b^2)-({\displaystyle \frac{4a^2}{3}}+{\displaystyle \frac{4ab}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b^2-{\displaystyle \frac{4a^2}{3}}={\displaystyle \frac{3b^2-4a^2}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$ $D\mathrm{\ne }0$ なら連立方程式は一意に解をもつ。$D=0$ の場合を確認する。もし $(a,b)=(0,0)$ なら(1)の左辺は0となり、$0=1\mathrm{/}2$ で不可能である。$(a,b)\mathrm{\ne }(0,0)$ で $D=0$ なら、(1),(2)の左辺の係数は比例するが、右辺は $1\mathrm{/}2$ と0で比例しない。したがってこの場合も解は存在しない。

よって $p,q$ が存在するための条件は $D\mathrm{\ne }0$ すなわち $4a^2-3b^2\mathrm{\ne }0$ である。$c$ は任意の実数でよい。

この条件のもとで解を求める。クラメルの公式より$$p={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& a+b\\ 0& 2b\end{array}\mid }{D}}={\displaystyle \frac{b}{D}}={\displaystyle \frac{3b}{3b^2-4a^2}}=-{\displaystyle \frac{3b}{4a^2-3b^2}},$$また$$q={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2a}{3}}+{\displaystyle \frac{b}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{4a}{3}}& 0\end{array}\mid }{D}}={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{2a}{3}}}{D}}={\displaystyle \frac{2a}{4a^2-3b^2}}\mathrm{.}$$したがって $$p=-{\displaystyle \frac{3b}{4a^2-3b^2}},q={\displaystyle \frac{2a}{4a^2-3b^2}}$$ である。

対称区間で偶奇を分離

二つ目の積分を、正側と負側の和として見る。正側の積分が $1\mathrm{/}2$、全体が0なので負側は $-1\mathrm{/}2$ である。正側と、負側を $x\mapsto -x$ で移した式との和・差から、偶数次部分と奇数次部分を分離して $p,q$ の連立方程式を作る。

正側の積分を $J_{+}$、負側を $J_{-}$ とすると$$J_{+}={\displaystyle \frac{1}{2}},J_{+}+J_{-}=0$$だから $J_{-}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax+b$ であり、$J_{-}$ に $x=-u$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle J_{+}}& {\displaystyle ={\int }_0^1(2au+b)(pu+q)du,}\\ {\displaystyle J_{-}}& {\displaystyle ={\int }_0^1(-2au+b)(-pu+q)du\mathrm{.}}\end{array}$$和と差を取れば$${\displaystyle \frac{4a}{3}}p+2bq=0,bp+2aq=1.$$この連立方程式の係数行列式は$${\displaystyle \frac{8a^2}{3}}-2b^2={\displaystyle \frac{2}{3}}(4a^2-3b^2)$$である。これが0なら、$(a,b)=(0,0)$ の場合も含めて右辺 $0,1$ と両立しない。したがって必要十分条件は$$4a^2-3b^2\mathrm{\ne }0$$であり、$c$ は任意である。

この条件のもとで消去すると$$p=-{\displaystyle \frac{3b}{4a^2-3b^2}},q={\displaystyle \frac{2a}{4a^2-3b^2}}$$を得る。