北海道大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

点の座標から直接 $$\overrightarrow{O{A}_0}=(1,0,0)=\overrightarrow{e_1}$$ であり，$$\overrightarrow{A_0{A}_1}=A_1-A_0=(0,1,0)=\overrightarrow{e_2}$$ である。また $$\overrightarrow{A_0{A}_2}=A_2-A_0=(0,0,1)=\overrightarrow{e_3}$$ である。

同様に $$\overrightarrow{O{B}_0}=(2,0,0)=2\overrightarrow{e_1}$$ であり，$$\overrightarrow{B_0{B}_1}=B_1-B_0=(0,1,0)=\overrightarrow{e_2}$$ である。さらに$$\overrightarrow{B_0{B}_2}=B_2-B_0=({\displaystyle \frac{1}{2}},0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{e_1}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\overrightarrow{e_3}$$である。

(2)

与えられた表示から$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O{A}_0}+a\overrightarrow{A_0{A}_1}+b\overrightarrow{A_0{A}_2}=(1,a,b)$$である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{O{P}^{\mathrm{\prime }}}}& {\displaystyle =\overrightarrow{O{B}_0}+p\overrightarrow{B_0{B}_1}+q\overrightarrow{B_0{B}_2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2+{\displaystyle \frac{q}{2}},p,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}q)}\end{array}$$である。

点 $O,P,P^{\mathrm{\prime }}$ が一直線上にあるから，ある実数 $\lambda$ を用いて $$\overrightarrow{O{P}^{\mathrm{\prime }}}=\lambda \overrightarrow{OP}$$ と書ける。第1成分を比べると $$\lambda =2+{\displaystyle \frac{q}{2}}={\displaystyle \frac{q+4}{2}}$$ である。もし $\lambda =0$ なら $P^{\mathrm{\prime }}=O$ でなければならないが、$q=-4$ を $P^{\mathrm{\prime }}$ の表示へ入れると第3成分が $-2\sqrt{3}$ となって矛盾する。したがって $\lambda \mathrm{\ne }0$、すなわち $q+4\mathrm{\ne }0$ である。したがって第2成分，第3成分から $$p=\lambda a,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}q=\lambda b$$ である。よって $${\displaystyle a={\displaystyle \frac{2p}{q+4}},b={\displaystyle \frac{\sqrt{3}q}{q+4}}}$$ である。

(3)

点 $P$ が $\alpha$ 上で，中心 $A_0$，半径1の円 $C$ 上を動く条件は $A_0{P}^2=a^2+b^2=1$ である。(2)で得た式を代入すると $${\left({\displaystyle \frac{2p}{q+4}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}q}{q+4}}\right)}^2=1$$ である。両辺に $(q+4{)}^2$ を掛けて $4p^2+3q^2=(q+4{)}^2$ を得る。整理すると $4p^2+3q^2=q^2+8q+16$ すなわち $2p^2+q^2-4q-8=0$ である。平方完成して $2p^2+(q-2{)}^2=12$ となる。標準形に直すと $${\displaystyle {\displaystyle \frac{p^2}{6}}+{\displaystyle \frac{(q-2{)}^2}{12}}=1}$$ である。これは $(p,q)$ 平面において，中心 $(0,2)$，2つの軸が座標軸に平行な楕円を表す。したがって $C^{\mathrm{\prime }}$ は楕円である。

原点を中心とする射影により、平面 $\alpha$ 上の円が平面 $\beta$ 上の楕円へ移る。