北海道大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $$P=(2\cos t,2\sin t,1),Q=(-\sin 3t,\cos 3t,-1)$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2}& {\displaystyle =(2\cos t+\sin 3t{)}^2+(2\sin t-\cos 3t{)}^2+(1-(-1){)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4({\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)+({\sin }^{2}3t+{\cos }^{2}3t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +4(\cos t\sin 3t-\sin t\cos 3t)+4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4+1+4\sin (3t-t)+4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9+4\sin 2t}\end{array}$$である。

よって $P{Q}^2$ が最小となるのは $\sin 2t=-1$ のときである。条件 $$-{180}^{\circ }\leqq t\leqq {180}^{\circ }$$ より $-{360}^{\circ }\leqq 2t\leqq {360}^{\circ }$ である。この範囲で $\sin 2t=-1$ となるのは $$2t=-{90}^{\circ },{270}^{\circ }$$ であるから $$t=-{45}^{\circ },{135}^{\circ }$$ である。

それぞれのとき，点 $P$ の座標は $$t=-{45}^{\circ }\text{ で }P=(\sqrt{2},-\sqrt{2},1),$$ $$t={135}^{\circ }\text{ で }P=(-\sqrt{2},\sqrt{2},1)$$ である。

(2) $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ のなす角が $0^{\circ }$ 以上 ${90}^{\circ }$ 以下である条件は $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}\geqq 0$ である。内積を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}}& {\displaystyle =(2\cos t)(-\sin 3t)+(2\sin t)(\cos 3t)+1\cdot (-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(\sin t\cos 3t-\cos t\sin 3t)-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sin (t-3t)-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2\sin 2t-1}\end{array}$$である。したがって求める条件は $-2\sin 2t-1\geqq 0$ すなわち $\sin 2t\leqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。 $-{360}^{\circ }\leqq 2t\leqq {360}^{\circ }$ において，$\sin u\leqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}$ となるのは $$-{150}^{\circ }\leqq u\leqq -{30}^{\circ },{210}^{\circ }\leqq u\leqq {330}^{\circ }$$ である。$u=2t$ と戻して$$-{75}^{\circ }\leqq t\leqq -{15}^{\circ },{105}^{\circ }\leqq t\leqq {165}^{\circ }$$である。

距離の最小は $\sin 2t=-1$、角が直角以下となる条件は $\sin 2t\leqq -1\mathrm{/}2$ で読む。