北海道大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$A=(\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}},\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}},0),B=(\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}},-\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}},0)$$である。$C=(x,y,z)$ とおく。$C$ は半径1の球面上にあるので $x^2+y^2+z^2=1$ である。

また，$$\mathrm{\angle }COA=\mathrm{\angle }COB=\theta$$ だから，内積を用いて$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=\cos \theta ,\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=\cos \theta$$である。これを成分で書くと $$x\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+y\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\cos \theta ,$$ $$x\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}-y\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\cos \theta$$ である。2式を引くと $$2y\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=0$$ である。$0<\alpha <\pi$ より $\sin (\alpha \mathrm{/}2)>0$ だから $y=0$ である。

したがって $$x\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\cos \theta$$ となる。$0<\alpha <\pi$ より $\cos (\alpha \mathrm{/}2)>0$ なので $$x={\displaystyle \frac{\cos \theta }{\cos (\alpha \mathrm{/}2)}}$$ である。

さらに $x^2+z^2=1$ で，$C$ の $z$ 座標は正であるから$$z=\sqrt{1-x^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{{\cos }^2(\alpha \mathrm{/}2)-{\cos }^2\theta }}{\cos (\alpha \mathrm{/}2)}}$$である。よって$$C=({\displaystyle \frac{\cos \theta }{\cos (\alpha \mathrm{/}2)}},0,{\displaystyle \frac{\sqrt{{\cos }^2(\alpha \mathrm{/}2)-{\cos }^2\theta }}{\cos (\alpha \mathrm{/}2)}})$$である。

(2) では4本の単位ベクトルのなす角がすべて等しく、端点 $A,B,C,D$ は正四面体を作る。

(2) $A$ と $B$ のなす角は $\alpha$ である。相異なる2つのベクトルのなす角がすべて等しいならば，$C$ と $A$，$C$ と $B$ のなす角も $\alpha$ である。したがって(1)で $\theta =\alpha$ としてよい。

(1) より $$C=(x,0,z),x={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\cos (\alpha \mathrm{/}2)}},z>0$$ である。$D$ についても(1)と同じ内積条件を用いると，$z$ 座標だけが負になるので $D=(x,0,-z)$ である。

さらに $C$ と $D$ のなす角も $\alpha$ であるから $C\cdot D=\cos \alpha$ である。一方，$C$ は単位ベクトルなので $x^2+z^2=1$ であり，したがって $C\cdot D=x^2-z^2=2x^2-1$ である。よって $2x^2-1=\cos \alpha$ を得る。

ここで $$u=\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$$ とおく。$0<\alpha <\pi$ より $0<u<1$ であり，$$\cos \alpha =2u^2-1,x={\displaystyle \frac{2u^2-1}{u}}$$ である。これを $2x^2-1=\cos \alpha$ に代入すると $$2{\left({\displaystyle \frac{2u^2-1}{u}}\right)}^2-1=2u^2-1$$ である。整理して $(2u^2-1{)}^2=u^4$ すなわち $3u^4-4u^2+1=0$ を得る。因数分解すると $(3u^2-1)(u^2-1)=0$ である。$0<u<1$ なので $u^2=1$ は不適であり，$u^2={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

したがって $$\cos \alpha =2u^2-1=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ であり，$$x={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{u}}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。また $$z=\sqrt{1-x^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$$ で，$z>0$ を選ぶ。よって求める点は $$C=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},0,\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}})$$ である。

すべての中心角が等しいとき、4点は正四面体の頂点になる。外接球中心と重心が一致することから4本の位置ベクトルの和を $\overrightarrow{0}$ とし、対称性と内積条件を組み合わせて $C$ を短く決定する。

(1)

$C=(x,y,z)$ とおく。$A$ と $B$ は $xz$ 平面に関して対称であり、$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=\cos \theta$$である。2つの内積の差を取ると$$2y\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=0$$となるので、$0<\alpha <\pi$ より $y=0$ である。さらに$$x\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\cos \theta$$だから$$x={\displaystyle \frac{\cos \theta }{\cos (\alpha \mathrm{/}2)}}$$である。$C$ は単位球面上にあり、$z>0$ なので$$z=\sqrt{1-x^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{{\cos }^2(\alpha \mathrm{/}2)-{\cos }^2\theta }}{\cos (\alpha \mathrm{/}2)}}$$を得る。したがって$$C=({\displaystyle \frac{\cos \theta }{\cos (\alpha \mathrm{/}2)}},0,{\displaystyle \frac{\sqrt{{\cos }^2(\alpha \mathrm{/}2)-{\cos }^2\theta }}{\cos (\alpha \mathrm{/}2)}})$$である。

(2)

すべての2点間の中心角が等しいので，4点 $A,B,C,D$ は同じ辺の長さをもつ正四面体の頂点である。正四面体では外接球の中心と重心が一致するので，この場合は$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$$である。いま $$A+B=(2\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}},0,0),C+D=(2x,0,0)$$ だから $$x=-\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$$ である。一方，$A\cdot C=\cos \alpha$ かつ $C=(x,0,z)$ より $$x\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\cos \alpha$$ である。上の $x=-\cos (\alpha \mathrm{/}2)$ を代入して $$-{\cos }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\cos \alpha =2{\cos }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}-1$$ となる。よって $${\cos }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ であり，同じく $$C=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},0,\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}})$$ を得る。