北海道大学 2005年度 前期日程理系数学 第4問

(1)

まず $a_2$ を求める。 $$a_2={\displaystyle \frac{1+i}{2(1+i)-3}}={\displaystyle \frac{1+i}{-1+2i}}$$ である。分母を実数化すると $$a_2={\displaystyle \frac{(1+i)(-1-2i)}{(-1{)}^2+2^2}}={\displaystyle \frac{1-3i}{5}}={\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}i$$ である。

求める円は原点を通るので、その方程式を $x^2+y^2+ux+vy=0$ とおける。点 $a_1=1+i$、すなわち $(1,1)$ を通るから $1^2+1^2+u+v=0$ すなわち $u+v=-2$ である。また $$a_2={\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{3i}{5}}$$、すなわち $({\displaystyle \frac{1}{5}},-{\displaystyle \frac{3}{5}})$ を通るから $${\displaystyle \frac{1}{25}}+{\displaystyle \frac{9}{25}}+{\displaystyle \frac{u}{5}}-{\displaystyle \frac{3v}{5}}=0$$ であり、両辺を5倍して $2+u-3v=0$ を得る。連立すると $u=-2,v=0$ である。

したがって円の方程式は $x^2+y^2-2x=0$ である。これは $(x-1{)}^2+y^2=1$ すなわち複素数 $z=x+yi$ を用いれば $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=1$ と表せる。

(2) $z$ が $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=1$ を満たすとする。$z=x+yi$ とおけば、この条件は $(x-1{)}^2+y^2=1$ すなわち $x^2+y^2=2x$ である。また、この円上では $z={\displaystyle \frac{3}{2}}$ とはならないので、$2z-3\mathrm{\ne }0$ である。 $$z^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{z}{2z-3}}$$ とおく。すると $$z^{\mathrm{\prime }}-1={\displaystyle \frac{z-(2z-3)}{2z-3}}={\displaystyle \frac{3-z}{2z-3}}$$ である。よって $$\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}-1\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }3-z\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }2z-3\mathrm{\mid }}}$$ である。

ここで $$\mathrm{\mid }3-z{\mathrm{\mid }}^2=(3-x{)}^2+y^2=9-6x+x^2+y^2=9-4x$$ である。一方、$$\mathrm{\mid }2z-3{\mathrm{\mid }}^2=(2x-3{)}^2+(2y{)}^2=4x^2-12x+9+4y^2=4(x^2+y^2)-12x+9$$ であり、$x^2+y^2=2x$ を代入して $\mathrm{\mid }2z-3{\mathrm{\mid }}^2=8x-12x+9=9-4x$ となる。したがって $\mathrm{\mid }3-z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }2z-3\mathrm{\mid }$ であり、$\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}-1\mathrm{\mid }=1$ である。

これは、円 $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=1$ 上の点を漸化式 $z\mapsto {\displaystyle \frac{z}{2z-3}}$ で移しても、再び同じ円上にあることを意味する。(1)より $a_1=1+i$ はこの円上にある。したがって数学的帰納法により、すべての $n$ について $\mathrm{\mid }{a}_n-1\mathrm{\mid }=1$ が成り立つ。よってすべての $a_n$ は(1)で求めた円上にある。

分母の非零確認

円 $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=1$ と実軸の交点は $z=0,2$ だけなので、$2z-3=0$ となる $z={\displaystyle \frac{3}{2}}$ は円上にない。したがって漸化式は帰納の各段階で必ず定義される。

円上の点を $z=1+u$, $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=1$ と表す。漸化式で得る次の点と中心1との差を $u$ で整理し、分子・分母の絶対値が等しいことを一行で示す。

(1)

計算すると$$a_2={\displaystyle \frac{1+i}{-1+2i}}={\displaystyle \frac{1-3i}{5}}\mathrm{.}$$原点を通る円を $x^2+y^2+ux+vy=0$ とおき、$(1,1)$ と $({\displaystyle \frac{1}{5}},-{\displaystyle \frac{3}{5}})$ を代入すると $u=-2,v=0$ を得る。よって$$(x-1{)}^2+y^2=1,\text{すなわち}\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=1.$$(2)

円上の点を$$z=1+u,\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=1$$と表す。次の点を $$w={\displaystyle \frac{z}{2z-3}}$$ とおくと$$w-1={\displaystyle \frac{2-u}{2u-1}}\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=1$ だから $\bar{u}=1\mathrm{/}u$ であり、$$\mathrm{\mid }2u-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }2-\bar{u}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }2-u\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$したがって $\mathrm{\mid }w-1\mathrm{\mid }=1$ である。また $2u-1=0$ なら $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}$ となって矛盾するので、分母は0にならない。$a_1$ は円上にあるから、帰納法によりすべての $a_n$ が同じ円上にある。