北海道大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$B$を原点に置き，$A=(u,0)$，$C=(0,v)$とする。$\mathrm{\angle }B={90}^{\circ }$であり，$AC=\alpha$なので $u^2+v^2={\alpha }^2$ である。

$D_k=(1-k\mathrm{/}n)A+(k\mathrm{/}n)C$ と置けば、距離の平方をそのまま和にできる。

$D_k$は$AC$を$n$等分した分点のうち，$A$に近い方から$k$番目の点である。したがって$$D_k=(1-{\displaystyle \frac{k}{n}})A+{\displaystyle \frac{k}{n}}C=(u(1-{\displaystyle \frac{k}{n}}),v{\displaystyle \frac{k}{n}})$$である。よって$$L_k^2=B{D}_k^2=u^2{(1-{\displaystyle \frac{k}{n}})}^2+v^2{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2$$である。

(1)

$k=1,2,\dots ,n-1$について和をとる。まず$$\sum _{k=1}^{n-1}{(1-{\displaystyle \frac{k}{n}})}^2=\sum _{k=1}^{n-1}{\left({\displaystyle \frac{n-k}{n}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{n^2}}\sum _{j=1}^{n-1}{j}^2$$である。同様に$$\sum _{k=1}^{n-1}{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{n^2}}\sum _{k=1}^{n-1}{k}^2$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{n-1}{L}_k^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(u^2+v^2){\displaystyle \frac{1}{n^2}}\sum _{k=1}^{n-1}{k}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\alpha }^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{n^2}}\cdot {\displaystyle \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\alpha }^2(n-1)(2n-1)}{6n}}}\end{array}$$である。

(2)

(1) より $${\displaystyle \frac{S_n}{n}}={\displaystyle \frac{{\alpha }^2(n-1)(2n-1)}{6n^2}}$$ である。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n}}={\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{6}}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{(n-1)(2n-1)}{n^2}}={\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{6}}\cdot 2={\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{3}}$$である。