北海道大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $P(a,0),A(0,1),B(0,2)$ なので $$\overrightarrow{PA}=A-P=(-a,1),\overrightarrow{PB}=B-P=(-a,2)$$ である。したがって $$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=a^2+2$$ であり，$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PA}\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+1},\mathrm{\mid }\overrightarrow{PB}\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+4}$$である。よって$${\displaystyle \cos \theta ={\displaystyle \frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}\sqrt{a^2+4}}}}$$である。

(2) $a>0$ であり，$\theta$ は $0^{\circ }$ と ${180}^{\circ }$ の間の角である。したがって $\theta$ を最大にするには，$\cos \theta$ を最小にすればよい。ここで $\cos \theta >0$ なので，$(\cos \theta {)}^2$ を最小にしてよい。 $u=a^2$ とおくと $u>0$ であり，$$(\cos \theta {)}^2={\displaystyle \frac{(u+2{)}^2}{(u+1)(u+4)}}$$ である。この関数を $$F(u)={\displaystyle \frac{(u+2{)}^2}{(u+1)(u+4)}}$$ とおく。正の関数なので，増減は対数微分で調べられる。 $${\displaystyle \frac{F^{\mathrm{\prime }}(u)}{F(u)}}={\displaystyle \frac{2}{u+2}}-{\displaystyle \frac{1}{u+1}}-{\displaystyle \frac{1}{u+4}}$$ である。極値条件は $${\displaystyle \frac{2}{u+2}}={\displaystyle \frac{1}{u+1}}+{\displaystyle \frac{1}{u+4}}$$ である。右辺を整理すると $${\displaystyle \frac{1}{u+1}}+{\displaystyle \frac{1}{u+4}}={\displaystyle \frac{2u+5}{(u+1)(u+4)}}$$ なので $2(u+1)(u+4)=(u+2)(2u+5)$ となる。展開して $2u^2+10u+8=2u^2+9u+10$ より $u=2$ である。

また，$0<u<2$ では $F^{\mathrm{\prime }}(u)<0$，$u>2$ では $F^{\mathrm{\prime }}(u)>0$ となるので，ここで最小となる。したがって $a^2=2$ であり，$a>0$ だから $a=\sqrt{2}$ のとき $\theta$ は最大となる。

$A,B$ を通る円が $x$ 軸に接するとき、線分 $AB$ を見込む角が最大になる。

線分 $AB$ を一定の角で見込む点は、$A,B$ を通る円弧上にある。$x$ 軸上で視角が最大になる境界は、その円が $x$ 軸へ接するときである。

(1) $$\overrightarrow{PA}=(-a,1),\overrightarrow{PB}=(-a,2)$$より$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{PA}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{PB}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}\sqrt{a^2+4}}}$$である。

(2)

$A,B$ を通り、$x$ 軸へ $P$ で接する円を考える。その中心は $AB$ の垂直二等分線 $y=3\mathrm{/}2$ 上にあり、接点の真上にあるから$$K=(a,{\displaystyle \frac{3}{2}})$$と書ける。接円の半径は $KP=3\mathrm{/}2$ である。一方、この円は $A(0,1)$ を通るので$$K{A}^2=a^2+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2$$である。よって $a^2=2$ となる。$a>0$ だから$$a=\sqrt{2}$$である。

この接円より小さい円弧では $x$ 軸と交わらず、より大きい円弧では同じ弦 $AB$ を見込む角が小さくなる。したがって接するときが最大視角を与える。