北海道大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $${\tan }^{2}x={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}-1$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_1}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\tan }^{2}xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\tan x-x]}_0^{\pi \mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}\end{array}$$である。よって $$a_1=1-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ である。

(2) $${\tan }^{2n+2}x={\tan }^{2n}x({\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}-1)$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\tan }^{2n}x{\displaystyle \frac{dx}{{\cos }^{2}x}}-{\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\tan }^{2n}xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\tan }^{2n}x{\displaystyle \frac{dx}{{\cos }^{2}x}}-a_n}\end{array}$$である。ここで$u=\tan x$とおくと，$du=dx\mathrm{/}{\cos }^{2}x$であり，$x=0$で$u=0$，$x=\pi \mathrm{/}4$で$u=1$である。よって$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\tan }^{2n}x{\displaystyle \frac{dx}{{\cos }^{2}x}}={\int }_0^1{u}^{2n}du={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}$$である。したがって $$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}-a_n$$ である。

(3)

$u=\tan x$ とすると、被積分関数は $0\leqq u<1$ で急速に0へ近づく。

(3)

再び$u=\tan x$とおくと$$a_n={\int }_0^1{\displaystyle \frac{u^{2n}}{1+u^2}}du$$である。$0\leqq u\leqq 1$で $$0\leqq {\displaystyle \frac{u^{2n}}{1+u^2}}\leqq u^{2n}$$ だから$$0\leqq a_n\leqq {\int }_0^1{u}^{2n}du={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}$$である。よって，はさみうちにより ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=0$ である。

(4)

(2) の式を$n=k-1$として用いると，$k\geqq 2$について $${\displaystyle \frac{1}{2k-1}}=a_{k-1}+a_k$$ である。いま $$S_n=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{(-1{)}^{k+1}}{2k-1}}$$ とおく。上の関係を使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle =1+\sum _{k=2}^n(-1{)}^{k+1}(a_{k-1}+a_k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-a_1+(-1{)}^{n+1}{a}_n}\end{array}$$である。実際，途中の$a_2,a_3,\dots ,a_{n-1}$の項は隣り合う項で打ち消し合う。

(3) より$a_n\to 0$であり，(1)より$a_1=1-\pi \mathrm{/}4$である。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=1-a_1=1-(1-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$である。

(4) の有限交互和を、$0\leqq u\leqq 1$ 上の有限等比数列の積分として表す。有限和を閉じた形に直し、極限値を与える積分と誤差項に分離する。誤差は(3)で0に収束すると分かっている $a_n$ そのものになる。

(4) の別解

有限等比数列の和より$$\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k+1}{u}^{2k-2}={\displaystyle \frac{1-(-u^2{)}^n}{1+u^2}}\mathrm{.}$$両辺を $0$ から $1$ まで積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{(-1{)}^{k+1}}{2k-1}}}& {\displaystyle ={\int }_0^1{\displaystyle \frac{1-(-u^2{)}^n}{1+u^2}}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1{\displaystyle \frac{du}{1+u^2}}-(-1{)}^n{\int }_0^1{\displaystyle \frac{u^{2n}}{1+u^2}}du\mathrm{.}}\end{array}$$第1項で $u=\tan x$ とおけば$${\int }_0^1{\displaystyle \frac{du}{1+u^2}}={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}dx={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$第2項の絶対値は $a_n$ に等しく、(3)より0に収束する。したがって求める極限は$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$である。