北海道大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$I={\int }_0^1{e}^{t}f(t)dt$$とおく。与えられた式は$$f(x)={\int }_0^1{e}^{x+t}f(t)dt=e^x{\int }_0^1{e}^{t}f(t)dt$$であるから $f(x)=e^{x}I$ である。

この式を $I$ の定義に代入すると$$I={\int }_0^1{e}^t{e}^{t}Idt=I{\int }_0^1{e}^{2t}dt$$である。ここで$${\int }_0^1{e}^{2t}dt={\left[{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2t}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{e^2-1}{2}}$$だから $$I=I{\displaystyle \frac{e^2-1}{2}}$$ である。すなわち $$I(1-{\displaystyle \frac{e^2-1}{2}})=0$$ である。$e>2$ より $(e^2-1)\mathrm{/}2>1$ なので，括弧内は0ではない。したがって $I=0$ であり，$f(x)=e^{x}I=0$ である。よって条件を満たす $f(x)$ は定数関数 $f(x)=0$ のみである。

(2) $$K={\int }_0^1{e}^{t}g(t)dt$$とおく。与えられた式から$$g(x)={\int }_0^1{e}^{x+t}g(t)dt+x=e^{x}K+x$$である。

この式を $K$ の定義に代入すると$$K={\int }_0^1{e}^t(e^{t}K+t)dt=K{\int }_0^1{e}^{2t}dt+{\int }_0^{1}t{e}^{t}dt$$である。すでに$${\int }_0^1{e}^{2t}dt={\displaystyle \frac{e^2-1}{2}}$$である。また部分積分により$${\int }_0^{1}t{e}^{t}dt={\left[t{e}^t\right]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{t}dt=e-(e-1)=1$$である。

したがって $$K=K{\displaystyle \frac{e^2-1}{2}}+1$$ となる。これを解くと $$K(1-{\displaystyle \frac{e^2-1}{2}})=1$$ すなわち $$K{\displaystyle \frac{3-e^2}{2}}=1$$ であるから $$K={\displaystyle \frac{2}{3-e^2}}$$ である。よって $$g(x)=x+{\displaystyle \frac{2e^x}{3-e^2}}$$ を得る。

最後に確認すると，この $g$ に対して$${\int }_0^1{e}^{t}g(t)dt=K$$となるように $K$ を定めているので，$${\int }_0^1{e}^{x+t}g(t)dt+x=e^{x}K+x=g(x)$$が成り立つ。したがって求める関数は $$g(x)=x+{\displaystyle \frac{2e^x}{3-e^2}}$$ である。