北海道大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $z=t$ で切る。ただし立体は $0\leqq z\leqq 1$ にあるので $0\leqq t\leqq 1$ である。このとき不等式は $x^2+y^2+t^2-2xy-1\geqq 0$ すなわち $(x-y{)}^2\geqq 1-t^2$ となる。よって $$\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\geqq \sqrt{1-t^2}$$ である。 $$r=\sqrt{1-t^2}$$ とおく。断面は，単位正方形 $$0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq 1$$ のうち，対角線 $x=y$ から $r$ 以上離れた部分である。これは $y\leqq x-r$ を満たす右下の三角形と，$y\geqq x+r$ を満たす左上の三角形の和である。それぞれの直角辺の長さは $1-r$ なので，断面積は $$S(t)=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}(1-r{)}^2=(1-r{)}^2$$ である。したがって $$S(t)={(1-\sqrt{1-t^2})}^2$$ である。
(2)
体積は断面積を積分して$${\int }_0^{1}S(t)dt={\int }_0^1{(1-\sqrt{1-t^2})}^{2}dt$$である。展開すると $${(1-\sqrt{1-t^2})}^2=2-t^2-2\sqrt{1-t^2}$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{1}S(t)dt}& {\displaystyle ={\int }_0^1(2-t^2)dt-2{\int }_0^1\sqrt{1-t^2}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[2t-{\displaystyle \frac{t^3}{3}}]}_0^1-2\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5}{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}\end{array}$$である。よって求める体積は ${\displaystyle \frac{5}{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ である。

断面は単位正方形の対角線から離れた2つの直角二等辺三角形。

(1) は同じ断面図で確認し，(2)では $(x,y)$ を固定して高さを積分する。差 $u=\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$ が同じ点の重みが $2(1-u)$ になることを使い，三重積分を一変数へ落とす。

(1) $z=t$ とすると$$(x-y{)}^2\geqq 1-t^2\mathrm{.}$$$$r=\sqrt{1-t^2}$$ とおけば，単位正方形内で$$\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\geqq r$$を満たす2つの直角二等辺三角形が断面になる。各直角辺は $1-r$ だから$$S(t)={(1-\sqrt{1-t^2})}^2\mathrm{.}$$(2) 今度は $(x,y)$ を固定する。$0\leqq x,y\leqq 1$ では $\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\leqq 1$ なので$$\sqrt{1-(x-y{)}^2}\leqq z\leqq 1.$$差 $u=\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$ が $u$ から $u+du$ に入る単位正方形内の面積は $2(1-u)du$ である。よって体積は$$2{\int }_0^1(1-u)\{1-\sqrt{1-u^2}\}du\mathrm{.}$$ここで$${\int }_0^1(1-u)du={\displaystyle \frac{1}{2}},$$$${\int }_0^1(1-u)\sqrt{1-u^2}du={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$だから$$V=2\{{\displaystyle \frac{1}{2}}-({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})\}={\displaystyle \frac{5}{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$である。