北海道大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$h(\theta )=\sqrt{1-\cos \theta }$$ とおくと$$F(x)={\int }_x^{x+a}h(\theta )d\theta$$である。上端と下端がともに $x$ によって動くので、$F^{\mathrm{\prime }}(x)=h(x+a)-h(x)$ である。したがって $$F^{\mathrm{\prime }}(x)=\sqrt{1-\cos (x+a)}-\sqrt{1-\cos x}$$ である。

(2)
平方根の中身は非負であるから、$F^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq 0$ は $$\sqrt{1-\cos (x+a)}\leqq \sqrt{1-\cos x}$$ と同値であり、さらに $1-\cos (x+a)\leqq 1-\cos x$ すなわち $\cos (x+a)\geqq \cos x$ と同値である。

差積公式を使うと $${\displaystyle \cos (x+a)-\cos x=-2\sin (x+\frac{a}{2})\sin \frac{a}{2}}$$ である。$0<a<2\pi$ だから $${\displaystyle \sin \frac{a}{2}>0}$$ である。よって $F^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq 0$ となる条件は ${\displaystyle \sin (x+\frac{a}{2})\leqq 0}$ である。

$0<x<2\pi$ では $${\displaystyle \frac{a}{2}<x+\frac{a}{2}<2\pi +\frac{a}{2}}$$ であり、この範囲で正弦が0以下になるのは $${\displaystyle \pi \leqq x+\frac{a}{2}\leqq 2\pi }$$ のときである。したがって $${\displaystyle \pi -\frac{a}{2}\leqq x\leqq 2\pi -\frac{a}{2}}$$ である。

(3)
(2)より、$F(x)$ は $${\displaystyle 0<x<\pi -\frac{a}{2}}$$ で増加し、$${\displaystyle \pi -\frac{a}{2}<x<2\pi -\frac{a}{2}}$$ で減少し、さらに $${\displaystyle 2\pi -\frac{a}{2}<x<2\pi }$$ で増加する。したがって極大となるのは $${\displaystyle x=\pi -\frac{a}{2}}$$ であり、極小となるのは $${\displaystyle x=2\pi -\frac{a}{2}}$$ である。

ここで $${\displaystyle 1-\cos \theta =2{\sin }^2\frac{\theta }{2}}$$ より $${\displaystyle \sqrt{1-\cos \theta }=\sqrt{2}\mid \sin \frac{\theta }{2}\mid }$$ である。

極大値は$$F(\pi -\frac{a}{2})={\int }_{\pi -a\mathrm{/}2}^{\pi +a\mathrm{/}2}\sqrt{2}\sin \frac{\theta }{2}d\theta$$である。この区間は $(0,2\pi )$ に含まれるので、$\sin (\theta \mathrm{/}2)$ は非負である。よって$$F(\pi -\frac{a}{2})=\sqrt{2}{[-2\cos \frac{\theta }{2}]}_{\pi -a\mathrm{/}2}^{\pi +a\mathrm{/}2}=4\sqrt{2}\sin \frac{a}{4}$$である。

極小値は$$F(2\pi -\frac{a}{2})={\int }_{2\pi -a\mathrm{/}2}^{2\pi +a\mathrm{/}2}\sqrt{2}\mid \sin \frac{\theta }{2}\mid d\theta$$である。$2\pi$ を境に絶対値の符号が変わるので、対称性から$$F(2\pi -\frac{a}{2})=2{\int }_{2\pi -a\mathrm{/}2}^{2\pi }\sqrt{2}\sin \frac{\theta }{2}d\theta$$である。したがって$$F(2\pi -\frac{a}{2})=2\sqrt{2}{[-2\cos \frac{\theta }{2}]}_{2\pi -a\mathrm{/}2}^{2\pi }=4\sqrt{2}(1-\cos \frac{a}{4})$$である。

よって極大値は ${\displaystyle 4\sqrt{2}\sin \frac{a}{4}}$ 極小値は ${\displaystyle 4\sqrt{2}(1-\cos \frac{a}{4})}$ である。