(1)
部分積分を用いる。 ∫tetdt では u=t，dv=etdt とすると I1=tet−∫etdt=(t−1)et+C である。
同様に ∫t2etdt では u=t2，dv=etdt として I2=t2et−∫2tetdt. 上で求めた積分を使えば I2=t2et−2(t−1)et+C=(t2−2t+2)et+C である。したがって I1=(t−1)et+C,I2=(t2−2t+2)et+C である。
(2)
0≦x≦1 のとき，絶対値を外すために積分区間を 0≦t≦x と x≦t≦1 に分ける。 f(x)=∫0xe−(x−t)t(1−t)dt+∫x1e−(t−x)t(1−t)dt. すなわち f(x)=e−x∫0xet(t−t2)dt+ex∫x1e−t(t−t2)dt. 区間分割の確認
絶対値は t=x を境に外し方が変わる。
第1項は (1) の結果から計算できる。第2項も e−t に対して同様に部分積分してよい。整理すると f(x)=−2x2+2x−4+3(e−x+ex−1) となる。
途中計算を確認しておくと，∫et(t−t2)dt=(t−1)et−(t2−2t+2)et=(−t2+3t−3)et であり，∫e−t(t−t2)dt=(t2+t+1)e−t+C である。これを上下端に代入すれば上の式を得る。
(3)
まず f は対称性をもつ。もとの定義で t=1−u と置換すると，t(1−t)=u(1−u) であり，∣t−(1−x)∣=∣u−x∣ となるので f(1−x)=f(x) である。したがって最大値を調べるには 0≦x≦1/2 を考えれば十分である。
（2）の式を微分すると f′(x)=−4x+2+3(ex−1−e−x). 0≦x≦1/2 に対して u=21−x(0≦u≦1/2) とおくと，f′(x)=4u−3e−1/2(eu−e−u). よって f′(x)≧0 を示せば，f は [0,1/2] で増加し，対称性から x=1/2 で最大となる。
そこで ϕ(u)=4u−3e−1/2(eu−e−u) とおく。すると ϕ(0)=0, またϕ(21)=2−3e−1/2(e1/2−e−1/2)=2−3(1−e−1)=e3−1>0である。さらに ϕ′′(u)=−3e−1/2(eu−e−u)≦0(0≦u≦1/2) であるから，ϕ はこの区間で上に凸である。上に凸な関数は端点を結ぶ線分より上にあるので，端点がともに0以上であることから ϕ(u)≧0 が従う。したがって 0≦x≦1/2 で f′(x)≧0 であり，f はこの区間で増加する。
対称性 f(1−x)=f(x) と合わせて，最大値を与える点は x=21 である。
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