北海道大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
Aが先に2勝して終了するには、最後の試合はAが勝つ。最後の直前までにAは1勝しており、Bは0勝または1勝である。

Bが0勝なら勝敗列は $AA$ の1通り、Bが1勝なら最後のAの前に $A,B$ が1回ずつ並ぶので2通りである。したがって $P_2=p^2+2p^{2}q=p^2(1+2q)$ である。

(2)
Aが先に3勝して終了するには、最後の試合はAが勝ち、その直前までにAは2勝している。直前までのBの勝ち数を $j$ とすると、$j=0,1,2$ である。

Bが $j$ 勝のとき、最後の前の $2+j$ 試合の中でBの勝ちの位置を選べばよいので ${}_{2+j}{\mathrm{C}}_j$ 通りである。したがって $$P_3=p^3\sum _{j=0}^2{}_{2+j}{\mathrm{C}}_j{q}^j=p^3(1+3q+6q^2)$$ であり、$P_3=p^3(1+3q+6q^2)$ である。

(3)
同様に、Aが先に4勝して終了するには、最後の前にAは3勝、Bは $j=0,1,2,3$ 勝している。Bが $j$ 勝のとき、最後の前の $3+j$ 試合におけるBの勝ちの位置は ${}_{3+j}{\mathrm{C}}_j$ 通りである。よって $$P_4=p^4\sum _{j=0}^3{}_{3+j}{\mathrm{C}}_j{q}^j=p^4(1+4q+10q^2+20q^3)$$ である。したがって $$P_4=p^4(1+4q+10q^2+20q^3)$$ である。

(4) $p=1-q$ である。(2),(3)より $$P_3-P_4=p^3(1+3q+6q^2)-p^4(1+4q+10q^2+20q^3)$$ である。共通因子 $p^3$ をくくり、$p=1-q$ を代入すると $$P_3-P_4=p^3\{1+3q+6q^2-(1-q)(1+4q+10q^2+20q^3)\}$$ である。中括弧の中を整理すると $$1+3q+6q^2-(1+3q+6q^2+10q^3-20q^4)=10q^3(2q-1)$$ となる。したがって $P_3-P_4=10p^3{q}^3(2q-1)$ である。

条件 $1\mathrm{/}2<q<1$ のもとでは $p=1-q>0$、$q>0$、$2q-1>0$ であるから $P_3-P_4>0$ である。よって $P_4<P_3$ が示された。