北海道大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

A の出た目を $i$，B の出た目を $j$ とする。36通りはいずれも同様に確からしい。

対角線上の同点は $A$ の勝ちに含める。

A が勝つのは，同じ目の場合を含めて $j\leqq i$ のときである。このとき A の得点は $pi$ である。よって A の得点の期待値は$$E_A=\frac{1}{36}\sum _{i=1}^6\sum _{j=1}^{i}pi$$である。 固定した $i$ に対して $j$ は $i$ 通りあるから，$$E_A=\frac{p}{36}\sum _{i=1}^6{i}^2=\frac{p}{36}(1^2+2^2+\cdots +6^2)\mathrm{.}$$ したがって $$E_A=\frac{91p}{36}$$ である。

次に B の得点を考える。B が勝つのは $i<j$ のときであり，このとき B の得点は $j+qi$ である。したがって$$E_B=\frac{1}{36}\sum _{1\leqq i<j\leqq 6}(j+qi)=\frac{1}{36}(\sum _{1\leqq i<j\leqq 6}j+q\sum _{1\leqq i<j\leqq 6}i)\mathrm{.}$$第1項では $j$ を固定すると $i=1,2,\dots ,j-1$ の $j-1$ 通りがあるから$$\sum _{1\leqq i<j\leqq 6}j=\sum _{j=1}^{6}j(j-1)=(1^2+\cdots +6^2)-(1+\cdots +6)=91-21=70.$$第2項では $i$ を固定すると $j=i+1,\dots ,6$ の $6-i$ 通りがあるので$$\sum _{1\leqq i<j\leqq 6}i=\sum _{i=1}^{6}i(6-i)=6(1+\cdots +6)-(1^2+\cdots +6^2)=126-91=35.$$よって $$E_A=\frac{91p}{36},E_B=\frac{70+35q}{36}$$ である。

(2)

A と B の期待値が等しくなる条件は $$\frac{91p}{36}=\frac{70+35q}{36}$$ すなわち $91p=70+35q$ である。7で割ると $13p=10+5q$ であるから，右辺より $13p$ は5の倍数でなければならない。$13$ は5と互いに素なので，$p$ は5の倍数である。

自然数 $p$ のうち最小のものは $p=5$ であり，このとき $13\cdot 5=10+5q$ より $q=11$ である。したがって最小の $p$ は $p=5$ であり，そのときの期待値は $$E_A=E_B=\frac{91\cdot 5}{36}=\frac{455}{36}$$ である。