北海道大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

2個のさいころの目の積を $4$ で割った余りごとに数える。全事象は $36$ 通りである。

余りごとの通り数は$$\begin{array}{cccc}\text{余り}& \text{通り数}& \text{確率}& \text{移動}\\ 0& 15& \frac{5}{12}& (-1,0)\\ 1& 5& \frac{5}{36}& (0,-1)\\ 2& 12& \frac{1}{3}& (1,0)\\ 3& 4& \frac{1}{9}& (0,1)\end{array}$$である。

(1) 1回で $(-1,0)$ に移動するには、積を $4$ で割った余りが $0$ であればよい。したがって求める確率は $\frac{5}{12}$ である。

(2) 3回後に $(2,1)$ にいるためには、3回の移動が $(1,0),(1,0),(0,1)$ でなければならない。なぜなら、$(2,1)$ は原点からのマンハッタン距離が $3$ であり、3回の移動で到達するにはすべて目的方向へ進む必要があるからである。

この3つの移動の並べ方は $$\frac{3!}{2!1!}=3$$ 通りである。よって確率は $$3{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{27}$$ である。

(3) 4回後に $(1,1)$ にいる場合を考える。東、西、北、南への移動回数をそれぞれ $e,w,n,s$ とすると、$$e-w=1,n-s=1,e+w+n+s=4$$ を満たす必要がある。

これを満たす非負整数解は $$(e,w,n,s)=(1,0,2,1),(2,1,1,0)$$ の2通りである。

まず $(1,0,2,1)$ の場合、並べ方は $$\frac{4!}{1!0!2!1!}=12$$ 通りであり、確率は $12\left(\frac{1}{3}\right){\left(\frac{1}{9}\right)}^2\left(\frac{5}{36}\right)$ である。

次に $(2,1,1,0)$ の場合、並べ方は $$\frac{4!}{2!1!1!0!}=12$$ 通りであり、確率は $12{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\left(\frac{5}{12}\right)\left(\frac{1}{9}\right)$ である。

したがって求める確率は$$12\left(\frac{1}{3}\right){\left(\frac{1}{9}\right)}^2\left(\frac{5}{36}\right)+12{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\left(\frac{5}{12}\right)\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{50}{729}$$である。