北海道大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) 1秒後は $A,B,C$ のいずれへも確率 $1\mathrm{/}3$ で移るので、$$a_1=b_1=c_1=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$2秒後に $A$ へ来るのは、直前に $A$ にいて $A$ を選ぶ場合と、直前に $C$ にいて $A$ を選ぶ場合である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_2}& {\displaystyle =\frac{1}{3}{a}_1+\frac{1}{2}{c}_1=\frac{1}{9}+\frac{1}{6}=\frac{5}{18},}\\ {\displaystyle b_2}& {\displaystyle =\frac{1}{3}{a}_1+\frac{1}{2}{c}_1=\frac{5}{18},}\\ {\displaystyle c_2}& {\displaystyle =\frac{1}{3}{a}_1+b_1=\frac{1}{9}+\frac{1}{3}=\frac{4}{9}\mathrm{.}}\end{array}$$(2) $n\geqq 2$ のとき、$n$ 秒後に $A$ にいるには、$n-1$ 秒後に $A$ または $C$ にいる必要がある。よって$$a_n=\frac{1}{3}{a}_{n-1}+\frac{1}{2}{c}_{n-1}\mathrm{.}$$(3) 同じ理由で$$b_n=\frac{1}{3}{a}_{n-1}+\frac{1}{2}{c}_{n-1}$$だから、$n\geqq 1$ で $a_n=b_n$ である。確率の和から$$c_n=1-a_n-b_n=1-2a_n\mathrm{.}$$これを(2)へ代入すると、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =\frac{1}{3}{a}_{n-1}+\frac{1}{2}(1-2a_{n-1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}-\frac{2}{3}{a}_{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$$定数解は $3\mathrm{/}10$ なので、$$a_n-\frac{3}{10}=-\frac{2}{3}(a_{n-1}-\frac{3}{10})\mathrm{.}$$$a_1=1\mathrm{/}3$ を用いて、$$a_n=\frac{3}{10}+\frac{1}{30}{(-\frac{2}{3})}^{n-1}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_n}& {\displaystyle =\frac{3}{10}+\frac{1}{30}{(-\frac{2}{3})}^{n-1},}\\ {\displaystyle c_n}& {\displaystyle =1-2a_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{5}-\frac{1}{15}{(-\frac{2}{3})}^{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$$各遷移を図にすると、漸化式の係数を次のように読み取れる。

(1) 、(2)は解法1と同じである。(3)では $a_n=b_n$ と確率の和を使って $a_n,b_n$ を $c_n$ で表し、$C$ へ入る確率の式から $c_n$ だけの一次漸化式を作る。先に $c_n$ を解いた後、$a_n=b_n=(1-c_n)\mathrm{/}2$ で残りを戻す。

(3) $n\geqq 1$ で $a_n=b_n$ であり、$$a_n+b_n+c_n=1$$だから$$a_n=b_n=\frac{1-c_n}{2}\mathrm{.}$$$n\geqq 2$ のとき、$n$ 秒後に $C$ にいるには、$n-1$ 秒後に $A$ にいて確率 $1\mathrm{/}3$ で $C$ へ移るか、$B$ にいて必ず $C$ へ移る。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle c_n}& {\displaystyle =\frac{1}{3}{a}_{n-1}+b_{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{3}{a}_{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{3}(1-c_{n-1})\mathrm{.}}\end{array}$$定数解は $2\mathrm{/}5$ なので、$$c_n-\frac{2}{5}=-\frac{2}{3}(c_{n-1}-\frac{2}{5})\mathrm{.}$$$c_1=1\mathrm{/}3$ より$$c_n=\frac{2}{5}-\frac{1}{15}{(-\frac{2}{3})}^{n-1}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n=b_n}& {\displaystyle =\frac{1-c_n}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{10}+\frac{1}{30}{(-\frac{2}{3})}^{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$$解法1と同じ3式が得られ、添字も一致する。