北海道大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

2個のさいころの目の積を $4$ で割った余りを調べる。全事象は $36$ 通りである。

積が $4$ の倍数になるのは、少なくとも一方が $4$ で割り切れる場合、または両方が偶数で少なくとも一方が $2,6$ である場合を含めて数えると $15$ 通りである。したがって余り $0$ の確率は $$\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$$ である。

余りごとに数えると、$$\begin{array}{ccc}\text{余り}& \text{通り数}& \text{確率}\\ 0& 15& \frac{5}{12}\\ 1& 5& \frac{5}{36}\\ 2& 12& \frac{1}{3}\\ 3& 4& \frac{1}{9}\end{array}$$である。問題の規則より、余り $0,1,2,3$ はそれぞれ $(-1,0),(0,-1),(1,0),(0,1)$ への移動に対応する。

(1) 1回で $(1,0)$ に移動するには余りが $2$ であればよい。よって求める確率は $\frac{1}{3}$ である。

(2) 1回で $(0,1)$ に移動するには余りが $3$ であればよい。よって求める確率は $\frac{1}{9}$ である。

(3) 3回後に $(2,1)$ にいるためには、原点からのマンハッタン距離が $3$ であり、3回の移動も全部で $3$ 歩であるから、遠回りをする余地がない。したがって必要な移動は $(1,0),(1,0),(0,1)$ の3つだけである。

この3つの並べ方は $$\frac{3!}{2!1!}=3$$ 通りであり、各並べ方の確率は ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2\left(\frac{1}{9}\right)$ である。したがって求める確率は $$3{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{27}$$ である。