問題
を実数とし，
とおく。曲線上に異なる2点，がある。
(1) におけるの接線の方程式を求めよ。
(2) におけるの接線とにおけるの接線が平行になるための条件をの関係式として求めよ。
(3) (2)の条件のもとで，線分の中点が上にあることを示せ。
出典：北海道大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
解法1
(1)は導関数を用いて接線を点傾き式で書く。(2)は2本の接線が平行であることをに直し，を使ってを得る。(3)は中点の座標をとおき，との平均を計算して，条件により中点の座標がになることを示す。別解では，が奇関数になることを利用し，対称な2点の平均が中央の値に戻る構造として説明する。
解法2
三次関数を変曲点の横座標だけ平行移動し，中心対称な形へ直す。(1)(2)の接線条件を確認した後，(3)では奇関数の対称性から中点の縦座標を一度に求める。
解答
解法1
(1)
である。点における接線の傾きはなので，接線の方程式は である。すなわち である。
(2)
とにおける接線が平行であるためには，傾きが等しければよい。したがって であり，これは と同値である。整理すると である。は異なる2点であり，だから である。
(3)
線分の中点の座標を とおく。また とおくと，，である。(2)の条件から なので である。
中点の座標は である。ここで
である。ところがだから である。したがって線分の中点は であり，これは曲線上の点である。
解法2
(1)
より，における接線は
である。
(2)
平行条件はであるから
となる。より
である。
(3)
とおく。(2)からなので，あるを用いてと書ける。
ここでとおく。展開すると
であり，は奇関数である。したがって
となる。よっての中点はであり，曲線上にある。