北海道大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2ax+b$ である。点$P(s,f(s))$における接線の傾きは$f^{\mathrm{\prime }}(s)=3s^2+2as+b$なので，接線の方程式は $$y-f(s)=(3s^2+2as+b)(x-s)$$ である。すなわち $$y=(3s^2+2as+b)(x-s)+s^3+a{s}^2+bs+c$$ である。

(2) $P$と$Q$における接線が平行であるためには，傾きが等しければよい。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(s)=f^{\mathrm{\prime }}(t)$ であり，これは $3s^2+2as+b=3t^2+2at+b$ と同値である。整理すると $(s-t)\{3(s+t)+2a\}=0$ である。$P,Q$は異なる2点であり，$s\mathrm{\ne }t$だから $3(s+t)+2a=0$ である。

(3)
線分$PQ$の中点の$x$座標を $$m=\frac{s+t}{2}$$ とおく。また $$d=\frac{s-t}{2}$$ とおくと，$s=m+d$，$t=m-d$である。(2)の条件から $3(s+t)+2a=0$ なので $3m+a=0$ である。

中点の$y$座標は $$\frac{f(s)+f(t)}{2}=\frac{f(m+d)+f(m-d)}{2}$$ である。ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{f(m+d)+f(m-d)}{2}}& {\displaystyle =m^3+3m{d}^2+a(m^2+d^2)+bm+c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f(m)+(3m+a)d^2}\end{array}$$である。ところが$3m+a=0$だから $$\frac{f(s)+f(t)}{2}=f(m)$$ である。したがって線分$PQ$の中点は $(m,f(m))$ であり，これは曲線$C$上の点である。

(1) (2)で接線の傾きと平行条件を確認し，その条件から2点の$x$座標の平均が$m=-a\mathrm{/}3$になることを得る。(3)では$x=m+X$と平行移動し，$f(m+X)-f(m)=X^3+f^{\mathrm{\prime }}(m)X$が奇関数になることを展開で示す。$s=m+d,t=m-d$という対称な2点の関数値の平均が$f(m)$に戻ることから，中点の両座標を確定する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2ax+b$$より，$P$における接線は$$y-f(s)=(3s^2+2as+b)(x-s)$$である。

(2)
平行条件は$f^{\mathrm{\prime }}(s)=f^{\mathrm{\prime }}(t)$であるから$$(s-t)\{3(s+t)+2a\}=0$$となる。$s\mathrm{\ne }t$より$$3(s+t)+2a=0$$である。

(3) $$m=-\frac{a}{3}$$とおく。(2)から$s+t=2m$なので，ある$d\mathrm{\ne }0$を用いて$s=m+d,t=m-d$と書ける。

ここで$G(X)=f(m+X)-f(m)$とおく。展開すると$$G(X)=X^3+(3m+a)X^2+f^{\mathrm{\prime }}(m)X=X^3+f^{\mathrm{\prime }}(m)X$$であり，$G$は奇関数である。したがって$$f(m+d)+f(m-d)=2f(m)$$となる。よって$P,Q$の中点は$(m,f(m))$であり，曲線$C$上にある。