北海道大学 2016年度
文系数学 前期 第2問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 関数、積分、方程式・不等式
- 解法
- 絶対値の処理、グラフの概形、面積計算
- 難易度
- 5 / 10 計算量 6 / 10 目安 20分
問題
f(x)=∣x(x−2)∣+∣(x−1)(x−4)∣+3x−10 (−2≦x≦4)とおく。
(1) 関数y=f(x)のグラフをかけ。グラフとx軸との2つの交点のx座標α，β (α<β)の値も求めよ。
(2) (1)のα，βに対して，定積分∫αβf(x)dxの値を求めよ。
出典：北海道大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
解法1
絶対値の中身が符号を変える点0,1,2,4で区間を分け，−2≦x≦4上のf(x)を一次式または二次式で表す。(1)は各区間でグラフの形と零点を確認し，交点α,βを求める。(2)はα=−1からβ=7/3までを区間ごとに分け，符号を変えずに定積分を足し合わせる。
解法2
各絶対値を符号変化点で外し，平方完成した4本のグラフとして形を読む。積分はグラフが区間内で負であることを確認したうえで、4区間の符号付き面積を表示数式でまとめる。
解答
解法1
(1)
絶対値の中身の符号が変わる点は x=0,1,2,4 である。したがって定義域−2≦x≦4をこれらの点で分ける。 −2≦x≦0ではx(x−2)≧0，(x−1)(x−4)≧0なので f(x)=x(x−2)+(x−1)(x−4)+3x−10=2x2−4x−6 である。 0≦x≦1ではx(x−2)≦0，(x−1)(x−4)≧0なので f(x)=−x(x−2)+(x−1)(x−4)+3x−10=−6 である。 1≦x≦2では両方とも負または0であるから f(x)=−x(x−2)−(x−1)(x−4)+3x−10=−2x2+10x−14 である。 2≦x≦4ではx(x−2)≧0，(x−1)(x−4)≦0なので f(x)=x(x−2)−(x−1)(x−4)+3x−10=6x−14 である。
零点を調べると，−2≦x≦0では 2x2−4x−6=2(x−3)(x+1) よりx=−1が該当する。0≦x≦1ではf(x)=−6で零点はない。1≦x≦2では −2x2+10x−14=−2(x2−5x+7) で，判別式は25−28<0だから零点はない。2≦x≦4では 6x−14=0 よりx=37が該当する。したがって α=−1,β=37 である。グラフは上の4つの式を各区間でつないだものである。
(2)
∫αβf(x)dx=∫−10(2x2−4x−6)dx+∫01(−6)dx+∫12(−2x2+10x−14)dx+∫27/3(6x−14)dx=−310−6−311−31=−340.
解法2
(1)
符号変化点0,1,2,4で分けると
f(x)=⎩⎨⎧2(x−1)2−8−6−2(x−25)2−236x−14(−2≦x≦0),(0≦x≦1),(1≦x≦2),(2≦x≦4).
第1区間の零点はx=−1，第4区間の零点はx=7/3であり，中の2区間では常に負である。したがって
α=−1,β=37
である。各式の端点の値が一致するので，これらを連続につないだものが求めるグラフである。
(2)
∫αβf(x)dx=∫−10(2x2−4x−6)dx+∫01(−6)dx+∫12(−2x2+10x−14)dx+∫27/3(6x−14)dx=−310−6−311−31=−340.
定積分であるため，グラフがx軸より下にある部分も符号を変えずに加えている。
