北海道大学 2016年度
文系数学 前期 第3問

解答

解法1

(1)

$\angle ACB=45^{\circ }$，$AB=2$，$AC=1+\sqrt{3}$である。正弦定理より $\frac{AB}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AC}{\sin \beta }$ であるから

である。

次に ${\sin }^2\beta ={\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)}^2=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$ である。したがって $\cos 2\beta =1-2{\sin }^2\beta =1-\frac{2+\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

(2)

$\sin \beta =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ は $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ に等しい。三角形の内角なので$0^{\circ }<\beta <180^{\circ }$であり，この範囲で該当する角は $\beta =75^{\circ },\beta =105^{\circ }$ である。

(3)

三角形が鋭角三角形であるとき，(2)のうち$\beta =75^{\circ }$である。このとき $\angle BAC=180^{\circ }-45^{\circ }-75^{\circ }=60^{\circ }$ である。

外接円の中心$O$を原点と考える。円周角と中心角の関係より，弦$AB$に対する中心角は $\angle AOB=2\angle ACB=90^{\circ }$ である。同様に

である。 $\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$は長さが等しく，なす角が$90^{\circ }$なので，互いに直交する同じ長さのベクトルである。$\overrightarrow{OC}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$とおくと，両辺を$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$とそれぞれ内積して $s=\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $t=\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ を得る。よって $s=-\frac{\sqrt{3}}{2},t=-\frac{1}{2}$ である。

解法2

(1)(2)

$p=BC$とおく。頂点$C$で余弦定理を用いると

である。整理して

となり，

を得る。

頂点$B$で余弦定理を用いると

$p=\sqrt{6}$では$\cos \beta =\cos 75^{\circ }$，$p=\sqrt{2}$では$\cos \beta =\cos 105^{\circ }$となる。よって

であり，どちらの場合も

である。

(3)

鋭角三角形では$\beta =75^{\circ }$である。外接円の半径を$R$とし，

と座標化する。中心角は

だから

したがって

である。