北海道大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $\mathrm{\angle }ACB={45}^{\circ }$，$AB=2$，$AC=1+\sqrt{3}$である。正弦定理より $$\frac{AB}{\sin {45}^{\circ }}=\frac{AC}{\sin \beta }$$ であるから$$\sin \beta =\frac{AC\sin {45}^{\circ }}{AB}=\frac{(1+\sqrt{3})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$$である。

次に $${\sin }^2\beta ={\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)}^2=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$$ である。したがって $$\cos 2\beta =1-2{\sin }^2\beta =1-\frac{2+\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ である。

(2) $$\sin \beta =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$$ は $$\sin {75}^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$ に等しい。三角形の内角なので$0^{\circ }<\beta <{180}^{\circ }$であり，この範囲で該当する角は $$\beta ={75}^{\circ },\beta ={105}^{\circ }$$ である。

(3)
三角形が鋭角三角形であるとき，(2)のうち$\beta ={75}^{\circ }$である。このとき $$\mathrm{\angle }BAC={180}^{\circ }-{45}^{\circ }-{75}^{\circ }={60}^{\circ }$$ である。

外接円の中心$O$を原点と考える。円周角と中心角の関係より，弦$AB$に対する中心角は $$\mathrm{\angle }AOB=2\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$$ である。同様に$$\mathrm{\angle }AOC=2\mathrm{\angle }ABC={150}^{\circ },\mathrm{\angle }BOC=2\mathrm{\angle }BAC={120}^{\circ }$$である。 $\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$は長さが等しく，なす角が${90}^{\circ }$なので，互いに直交する同じ長さのベクトルである。$$\overrightarrow{OC}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$$とおくと，両辺を$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$とそれぞれ内積して $$s=\cos {150}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$t=\cos {120}^{\circ }=-\frac{1}{2}$$ を得る。よって $$s=-\frac{\sqrt{3}}{2},t=-\frac{1}{2}$$ である。

正弦定理とは別に，$p=BC$とおいて頂点$C$で余弦定理を用い，$p=\sqrt{6},\sqrt{2}$の2候補を得る。(1)は各候補を頂点$B$の余弦定理へ入れ，$\cos \beta$の符号だけが異なることから共通の$\sin \beta ,\cos 2\beta$を求める。(2)で符号に対応する$\beta ={75}^{\circ },{105}^{\circ }$を確定する。(3)は鋭角の場合を選び，外接円を$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$が座標軸となるように置き，中心角の余弦を係数として読む。

(1)
$p=BC$とおく。頂点$C$で余弦定理を用いると$$2^2=(1+\sqrt{3}{)}^2+p^2-2(1+\sqrt{3})p\cos {45}^{\circ }$$である。整理すると$$p^2-(\sqrt{2}+\sqrt{6})p+2\sqrt{3}=0$$となるので，$$p=\sqrt{6},p=\sqrt{2}$$を得る。

頂点$B$で余弦定理を用いると$$\cos \beta =\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2AB\cdot BC}=\frac{p^2-2\sqrt{3}}{4p}$$である。$p=\sqrt{6}$のとき$$\cos \beta =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},$$$p=\sqrt{2}$のとき$$\cos \beta =-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$となる。いずれの場合も$0^{\circ }<\beta <{180}^{\circ }$だから$\sin \beta >0$であり，$$\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\mathrm{.}$$また$$\cos 2\beta =2{\cos }^2\beta -1=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$である。

(2)
$p=\sqrt{6}$のとき$\cos \beta =\cos {75}^{\circ }$なので$\beta ={75}^{\circ }$である。$p=\sqrt{2}$のとき$\cos \beta =\cos {105}^{\circ }$なので$\beta ={105}^{\circ }$である。したがって$$\beta ={75}^{\circ },{105}^{\circ }$$である。

(3)
鋭角三角形では$\beta ={75}^{\circ }$である。外接円の半径を$R$とし，$$\overrightarrow{OA}=R(1,0),\overrightarrow{OB}=R(0,1)$$と座標化する。中心角は$$\mathrm{\angle }AOC={150}^{\circ },\mathrm{\angle }BOC={120}^{\circ }$$だから$$\overrightarrow{OC}=R(\cos {150}^{\circ },\cos {120}^{\circ })=-\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\mathrm{.}$$したがって$$s=-\frac{\sqrt{3}}{2},t=-\frac{1}{2}$$である。