問題
を自然数とする。
(1) が自然数であるようなをすべて求めよ。
(2) が自然数であるような組をすべて求めよ。
出典：北海道大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
解法1
(1)は自然数になる値をで先に絞る。(2)ではを別に処理し，では和が自然数になるなら値は1に限られることを使う。そこからを解き，が整数になるを有限個に絞る。
解法2
分数の上界から取り得る自然数値を先に決める。(1)は相加・相乗平均で値が2未満と示し、(2)はとを分けて整数値を1に固定する。
解答
解法1
(1)
が自然数であるなら，少なくとも1以上である。したがって であり を得る。つまり である。は自然数なので だけが候補である。実際，どちらも を満たす。よって求めるは である。
(2)
まずのとき，(1)より である。したがって が自然数になるにはが整数である必要があり，は自然数だから である。よって を得る。
次にとする。このとき であるから である。これが自然数であるなら，値は1でなければならない。したがって
であり である。 を調べると であり，整数になるのはだけである。さらにでは なので は1より大きく2より小さい整数でない数である。したがってこの範囲に解はない。
以上より求める組は である。
解法2
(1)
相加・相乗平均より
なので
自然数であるなら値はである。よって
からとなり，
である。
(2)
では第1項がなので，が自然数となるのはのときである。
では第1項は未満で，だから和は未満である。自然数になるなら値はであり，
となる。を調べると整数になるのはのときのだけである。では
なのでとなり，整数ではない。したがって
である。