北海道大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $\frac{3x}{x^2+2}$ が自然数であるなら，少なくとも1以上である。したがって $\frac{3x}{x^2+2}\geqq 1$ であり $x^2-3x+2\leqq 0$ を得る。つまり $(x-1)(x-2)\leqq 0$ である。$x$は自然数なので $x=1,2$ だけが候補である。実際，どちらも $$\frac{3x}{x^2+2}=1$$ を満たす。よって求める$x$は $1,2$ である。

(2)
まず$x=1,2$のとき，(1)より $$\frac{3x}{x^2+2}=1$$ である。したがって $1+\frac{1}{y}$ が自然数になるには$\frac{1}{y}$が整数である必要があり，$y$は自然数だから $y=1$ である。よって $(x,y)=(1,1),(2,1)$ を得る。

次に$x\geqq 3$とする。このとき $$0<\frac{3x}{x^2+2}<1$$ であるから $$0<\frac{3x}{x^2+2}+\frac{1}{y}<2$$ である。これが自然数であるなら，値は1でなければならない。したがって$$\frac{1}{y}=1-\frac{3x}{x^2+2}=\frac{x^2-3x+2}{x^2+2}=\frac{(x-1)(x-2)}{x^2+2}$$であり $$y=\frac{x^2+2}{(x-1)(x-2)}$$ である。 $x=3,4,5$を調べると $$x=3:\frac{11}{2},x=4:3,x=5:\frac{27}{12}$$ であり，整数になるのは$x=4$だけである。さらに$x\geqq 6$では $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2>3x$ なので $$y=1+\frac{3x}{(x-1)(x-2)}$$ は1より大きく2より小さい整数でない数である。したがってこの範囲に解はない。

以上より求める組は $(x,y)=(1,1),(2,1),(4,3)$ である。

分数の上界から取り得る自然数値を先に決める。(1)は相加・相乗平均により値が2未満であることを示し，自然数なら1に限るとして方程式を解く。(2)は分母が0になる$x=1,2$を先に処理し，$x\geqq 3$では和を1に固定して$y$を表す。$x=3,4,5$を確認した後，$x\geqq 6$では$1<y<2$となる不等式で残りを一括して除外する。

(1)
相加・相乗平均より$$x^2+2\geqq 2\sqrt{2}x$$なので$$0<\frac{3x}{x^2+2}\leqq \frac{3}{2\sqrt{2}}<2.$$自然数であるなら値は$1$である。よって$$x^2+2=3x$$から$(x-1)(x-2)=0$となり，$$x=1,2$$である。

(2)
$x=1,2$では第1項が$1$なので，$1+1\mathrm{/}y$が自然数となるのは$y=1$のときである。

$x\geqq 3$では第1項は$1$未満で，$1\mathrm{/}y\leqq 1$だから和は$2$未満である。自然数になるなら値は$1$であり，$$y=\frac{x^2+2}{(x-1)(x-2)}=1+\frac{3x}{(x-1)(x-2)}$$となる。$x=3,4,5$を調べると整数になるのは$x=4$のときの$y=3$だけである。$x\geqq 6$では$$0<\frac{3x}{(x-1)(x-2)}<1$$なので$1<y<2$となり，整数ではない。したがって$$(x,y)=(1,1),(2,1),(4,3)$$である。