北海道大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$x={\cos }^3\theta ,y={\sin }^3\theta$$ であるから$$\frac{dx}{d\theta }=-3{\cos }^2\theta \sin \theta ,\frac{dy}{d\theta }=3{\sin }^2\theta \cos \theta$$である。$$0\leqq \theta \leqq t\leqq \frac{\pi }{2}$$では$\sin \theta ,\cos \theta \geqq 0$なので，速度は$$\sqrt{{\left(\frac{dx}{d\theta }\right)}^2+{\left(\frac{dy}{d\theta }\right)}^2}=3\sin \theta \cos \theta$$である。したがって$$l(t)={\int }_0^{t}3\sin \theta \cos \theta d\theta =\frac{3}{2}{\sin }^{2}t$$である。

(2)
点$P$の座標は$({\cos }^{3}t,{\sin }^{3}t)$であるから $k(t{)}^2={\cos }^{6}t+{\sin }^{6}t$ である。$v={\sin }^{2}t$とおくと，$0<v\leqq 1$であり，${\cos }^{2}t=1-v$だから $$k(t{)}^2=(1-v{)}^3+v^3=3v^2-3v+1$$ である。また $l(t)=\frac{3}{2}v$ である。よって $${\left(\frac{k(t)}{l(t)}\right)}^2=\frac{4(3v^2-3v+1)}{9v^2}$$ である。この右辺を$H(v)$とおくと $$H^{\mathrm{\prime }}(v)=\frac{4(3v-2)}{9v^3}$$ である。したがって$0<v\leqq 1$で$H(v)$は$v=\frac{2}{3}$のとき最小となる。

このとき $${\left(\frac{k(t)}{l(t)}\right)}^2=\frac{1}{3}$$ なので，求める最小値は $\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。また $${\sin }^{2}t=\frac{2}{3},{\cos }^{2}t=\frac{1}{3}$$ であり，$$0<t\leqq \frac{\pi }{2}$$だから $$\sin t=\sqrt{\frac{2}{3}},\cos t=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ である。よってそのときの$P$の座標は $(\frac{1}{3\sqrt{3}},\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}})$ である。

(1) で曲線長を求めた後，$v={\sin }^{2}t$とおいて$k(t{)}^2$と$l(t{)}^2$を同じ変数で表す。(2)は比の二乗から候補値$1\mathrm{/}3$を引き，$(3v-2{)}^2\mathrm{/}(9v^2)\geqq 0$という完全平方にする。定義域$0<v\leqq 1$で等号$v=2\mathrm{/}3$が実現することを確認し，正の平方根を取って最小値と点$P$の座標まで戻す。

(1) $$\frac{dx}{d\theta }=-3{\cos }^2\theta \sin \theta ,\frac{dy}{d\theta }=3{\sin }^2\theta \cos \theta$$だから，$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$では速さは$3\sin \theta \cos \theta$である。よって$$l(t)={\int }_0^{t}3\sin \theta \cos \theta d\theta =\frac{3}{2}{\sin }^{2}t\mathrm{.}$$(2)
$v={\sin }^{2}t$とおくと$0<v\leqq 1$で，$$k(t{)}^2=(1-v{)}^3+v^3=3v^2-3v+1.$$したがって$${\left(\frac{k(t)}{l(t)}\right)}^2-\frac{1}{3}=\frac{(3v-2{)}^2}{9v^2}\geqq 0.$$等号は$v=2\mathrm{/}3$のときであるから，最小値は$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$である。このとき$${\cos }^{2}t=1\mathrm{/}3,{\sin }^{2}t=2\mathrm{/}3$$なので$$P(\frac{1}{3\sqrt{3}},\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}})$$である。