問題
とし，媒介変数を用いて
と表される曲線の長さをとおく。
(1) を求めよ。
(2) 原点と点の距離をとおく。において，の最小値とそのときのの座標を求めよ。
出典：北海道大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
解法1
媒介変数表示の曲線の長さはで求める。ここでは速度がに簡単化する。(2)はとおき，，として，の最小をで調べる。
解法2
曲線長を求めた後、比の二乗から予想される最小値を引いて完全平方にする。微分を使わず等号条件まで一度に決める。
解答
解法1
(1)
であるから
である。ではなので，速度は
である。したがって である。
(2)
点の座標はであるから である。とおくと，であり，だから である。また である。よって である。この右辺をとおくと である。したがってではのとき最小となる。
このとき なので，求める最小値は である。また であり，だから である。よってそのときのの座標は である。
解法2
(1)
だから，では速さはである。よって
(2)
とおくとで，
したがって
等号はのときであるから，最小値は
である。このときなので
である。