北海道大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $Q$は半直線$OP$上にあるので，$z$と$w$は同じ向きの複素数である。また $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$ である。したがって$w$は$z$と同じ方向で絶対値が逆数となるから$$w=\frac{z}{\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2}$$である。この式から$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1\mathrm{/}\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$なので，$$\frac{w}{\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2}=\frac{z\mathrm{/}\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2}{1\mathrm{/}\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2}=z$$となる。よって$$z=\frac{w}{\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2}=\frac{1}{\bar{w}}$$である。

(2)
点$P(z)$は中心$1-i$，半径$\sqrt{2}$の円上を動くので $\mathrm{\mid }z-(1-i)\mathrm{\mid }=\sqrt{2}$ である。この円は原点を通る。$z=1\mathrm{/}\bar{w}$を代入し，両辺を二乗して$\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2$を掛けると $$1-(1+i)w-(1-i)\bar{w}=0$$ である。$w=X+iY$とおくと $$(1+i)w+(1-i)\bar{w}=2(X-Y)$$ なので $X-Y=\frac{1}{2}$ である。したがって$Q$の軌跡は直線 $x-y=\frac{1}{2}$ である。

(3)
点$P$が $\mathrm{\mid }z-\beta \mathrm{\mid }=r$ を満たすとする。(1)より$z=1\mathrm{/}\bar{w}$を代入すると $$\mid \frac{1}{\bar{w}}-\beta \mid =r$$ である。両辺を二乗して$\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2$を掛けると $$1-\bar{\beta }w-\beta \bar{w}+(\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2-r^2)\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2=0$$ である。ここで$\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }\mathrm{\ne }r$なので $D=\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2-r^2$ とおくと$D\mathrm{\ne }0$である。上式を$D$で割って平方完成すると $${\mid w-\frac{\beta }{D}\mid }^2=\frac{r^2}{D^2}$$ となる。したがって$Q$の軌跡は，中心 $\frac{\beta }{\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2-r^2}$ 半径 $\frac{r}{\mid \mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2-r^2\mid }$ の円である。

$w=X+iY$，$R=X^2+Y^2$とおき，条件から得る座標式$(x,y)=(X\mathrm{/}R,Y\mathrm{/}R)$で3小問を統一する。(2)は元の円を実座標の方程式に直して代入し，$R>0$を確認して直線を得る。(3)は複素数の式で一次項と二次項を整理し，$D=\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2-r^2\mathrm{\ne }0$として平方完成する。

(1)
$w=X+iY,R=X^2+Y^2$とおく。同じ半直線上にあり$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$だから$$z=\frac{w}{\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2}=\frac{X}{R}+i\frac{Y}{R}=\frac{1}{\bar{w}}\mathrm{.}$$(2)
元の円は$$(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=2,$$すなわち$x^2+y^2-2x+2y=0$である。$x=X\mathrm{/}R,y=Y\mathrm{/}R$を代入すると$$\frac{1-2X+2Y}{R}=0.$$$R>0$より$$X-Y=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$したがって軌跡はこの直線全体である。

(3)
$\mathrm{\mid }z-\beta \mathrm{\mid }=r$へ$z=1\mathrm{/}\bar{w}$を代入して整理すると$$(\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2-r^2)\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2-\bar{\beta }w-\beta \bar{w}+1=0.$$$D=\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2-r^2\mathrm{\ne }0$とおけば，平方完成により$${\mid w-\frac{\beta }{D}\mid }^2=\frac{r^2}{D^2}\mathrm{.}$$よって中心$$\frac{\beta }{\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2-r^2}$$半径$$\frac{r}{\mid \mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2-r^2\mid }$$の円である。