問題
3点，，を考える。
(1) がをみたすとき，が不等式
の表す領域に含まれるためのの条件をを用いて表せ。
(2) が(1)の条件をみたすとき，の面積の最大値とそのときのの値を求めよ。
方針
解法1
領域をで表すとになる。三角形が領域に含まれるには辺上でこの不等式が成り立てばよい。辺では，辺ではとなるため，それぞれ，を得る。(2)は面積をで表し，許された区間の端点で最大を調べる。
解法2
領域を高さ差で測る。下側条件は平方の凸性から三角形全体で自動的に成り立ち、上側条件は各鉛直断面の上端を作る3辺で判定する。
解答
解法1
(1)
点に対して とおく。与えられた領域は で表される。
まず辺を調べる。辺上の点は と表せるので である。より最大値はなので，辺は領域内にある。
次に辺上の点をと表すと である。これがで常に1以下となる条件は である。実際，なら最大は端点で1となり，なら内点で1を超える。
同様に，辺上の点をとおくと となる。したがって辺が領域に含まれる条件は である。
よって条件は である。より共通範囲は である。
(2)
三角形の面積をとすると である。ここで であるから，絶対値は外せる。
固定したに対し，はについて下に凸な二次式である。したがって区間 での最大値は端点で生じる。のときものときも である。よって であり，等号は のときに生じる。このときは端点なので である。したがって面積の最大値は で，そのとき である。
解法2
(1)
三角形内の点を
とする。平方の基本不等式から
よって三角形全体でである。
上側は，各鉛直断面の最上点がある辺で調べればよい。辺では
である。辺では
だから，全区間でとなる条件はである。辺も同様に
となり，条件はである。よりまとめると
である。
(2)
面積は
固定したではの下に凸な二次式なので，区間の端点で最大となり，どちらでも
よって最大値は，そのとき
である。