北海道大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
点$(x,y)$に対して $h=y-x^2$ とおく。与えられた領域は $0\leqq h\leqq 1$ で表される。

三角形内の点を$$(x,y)=\lambda O+\mu A+\nu B,\lambda ,\mu ,\nu \geqq 0,\lambda +\mu +\nu =1$$と表す。このとき$$\mu a^2+\nu b^2-(\mu a+\nu b{)}^2=\lambda \mu a^2+\lambda \nu b^2+\mu \nu (a-b{)}^2\geqq 0$$だから，$y-x^2\geqq \nu \geqq 0$であり，下側の条件は三角形全体で成り立つ。また，三角形を固定した$x$で切った線分上では，$h=y-x^2$は$y$とともに増加する。その最大は線分の最上点で生じ，最上点は三角形の辺上にある。したがって上側の条件$h\leqq 1$は3辺上で調べれば十分である。

まず辺$OA$を調べる。辺$OA$上の点は$(ua,u{a}^2)$ $(0\leqq u\leqq 1)$と表せるので $h=u{a}^2-u^2{a}^2=a^{2}u(1-u)$ である。$0<a<2$より最大値は$a^2\mathrm{/}4<1$なので，辺$OA$は領域内にある。

次に辺$OB$上の点を$(ub,u(b^2+1))$と表すと $$h=u(b^2+1)-u^2{b}^2=u+u(1-u)b^2$$ である。これが$0\leqq u\leqq 1$で常に1以下となる条件は $\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\leqq 1$ である。実際，$\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\leqq 1$なら最大は端点$u=1$で1となり，$\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }>1$なら内点で1を超える。

同様に，辺$AB$上の点を$(1-u)A+uB$とおくと $h=u+u(1-u)(b-a{)}^2$ となる。したがって辺$AB$が領域に含まれる条件は $\mathrm{\mid }b-a\mathrm{\mid }\leqq 1$ である。

よって条件は $$-1\leqq b\leqq 1,a-1\leqq b\leqq a+1$$ である。$0<a<2$より共通範囲は $a-1\leqq b\leqq 1$ である。

(2)
三角形$OAB$の面積を$S$とすると $$S=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }a(b^2+1)-b{a}^2\mathrm{\mid }=\frac{a}{2}(b^2-ab+1)$$ である。ここで $$b^2-ab+1={(b-\frac{a}{2})}^2+1-\frac{a^2}{4}>0$$ であるから，絶対値は外せる。

固定した$a$に対し，$b^2-ab+1$は$b$について下に凸な二次式である。したがって区間 $a-1\leqq b\leqq 1$ での最大値は端点で生じる。$b=1$のときも$b=a-1$のときも $$S=\frac{a(2-a)}{2}$$ である。よって $S\leqq \frac{1}{2}$ であり，等号は $a=1$ のときに生じる。このとき$b$は端点なので $b=0,b=1$ である。したがって面積の最大値は $\frac{1}{2}$ で，そのとき $(a,b)=(1,0),(1,1)$ である。

三角形内の点を$\lambda O+\mu A+\nu B$と表し，平方を展開した恒等式から$y\geqq x^2$を直接示す。上側の条件は各鉛直断面の最上点が3辺上にあることを使い，辺$OB,AB$で同じ形の不等式を解く。(2)は許された$b$の区間を確定した後，面積を$b$の二次関数として端点比較し，最後に$a(2-a)$を平方完成して等号条件まで求める。

(1)
三角形内の点を$$X=\lambda O+\mu A+\nu B,\lambda ,\mu ,\nu \geqq 0,\lambda +\mu +\nu =1$$とする。平方を展開すると$$\mu a^2+\nu b^2-(\mu a+\nu b{)}^2=\lambda \mu a^2+\lambda \nu b^2+\mu \nu (a-b{)}^2\geqq 0$$となる。さらに$X$の$y$座標は$\mu a^2+\nu (b^2+1)$だから，三角形全体で$y\geqq x^2$である。

上側$y\leqq x^2+1$は，各鉛直断面の最上点がある辺で調べればよい。辺$OA$では$$h=y-x^2=a^{2}u(1-u)<1$$である。辺$OB$では$$1-h=(1-u)(1-u{b}^2)$$だから，全区間で$h\leqq 1$となる条件は$\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\leqq 1$である。辺$AB$も同様に$$1-h=(1-u)\{1-u(b-a{)}^2\}$$となり，条件は$\mathrm{\mid }b-a\mathrm{\mid }\leqq 1$である。$0<a<2$よりまとめると$$a-1\leqq b\leqq 1$$である。

(2)
面積は$$S=\frac{a}{2}(b^2-ab+1)\mathrm{.}$$固定した$a$では$b$の下に凸な二次式なので，区間の端点$b=a-1,1$で最大となり，どちらでも$$S=\frac{a(2-a)}{2}=\frac{1}{2}-\frac{(a-1{)}^2}{2}\leqq \frac{1}{2}\mathrm{.}$$よって最大値は$1\mathrm{/}2$，そのとき$$(a,b)=(1,0),(1,1)$$である。