北海道大学 2016年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

解法1

(1)

$a_1=(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2$ であり $a_2=(1+\sqrt{2}{)}^2+(1-\sqrt{2}{)}^2=6$ である。

ここで$r=1+\sqrt{2}$，または$r=1-\sqrt{2}$とすると，どちらも $r^2=2r+1$ を満たす。したがって $r^{n+2}=2r^{n+1}+r^n$ である。これを$r=1+\sqrt{2}$と$r=1-\sqrt{2}$について足すと $a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$ が成り立つ。

(2)

1の位だけを考えるため，漸化式を10で割った余りで計算する。初めの値は $a_1\equiv 2,a_2\equiv 6(\mathrm{mod}10)$ である。漸化式から順に求めると，1の位は $2,6,4,4,2,8,8,4,6,6,8,2$ と並び，この後また$2,6$に戻るので周期12で繰り返す。したがって $a_{13}\equiv a_1\equiv 2(\mathrm{mod}10)$ $a_{14}\equiv a_2\equiv 6(\mathrm{mod}10)$ である。よって$a_{13}$の1の位は2，$a_{14}$の1の位は6である。

(3)

$0<|1-\sqrt{2}|<1$ であり，1000は偶数なので $0<(1-\sqrt{2}{)}^{1000}<1$ である。したがって $a_{1000}=(1+\sqrt{2}{)}^{1000}+(1-\sqrt{2}{)}^{1000}$ は整数であり，$(1+\sqrt{2}{)}^{1000}$は$a_{1000}$より少し小さい。よって $\left[(1+\sqrt{2}{)}^{1000}\right]=a_{1000}-1$ である。

(2)で見たように$a_n$の1の位は周期12であり $1000\equiv 4(\mathrm{mod}12)$ だから，$a_{1000}$の1の位は$a_4$の1の位と同じで4である。したがって$a_{1000}-1$の1の位は $3$ である。

解法2

(1)

$1\pm \sqrt{2}$はともに$r^2=2r+1$を満たす。したがって

である。

(2)

10を法として連続する2項を追うと

となり，12回で初期の組へ戻る。具体的な1の位は

である。漸化式は2項の組から次の項を一意に決めるため，以後も周期12である。よって

(3)

$0<(1-\sqrt{2}{)}^{1000}<1$なので

$1000\equiv 4(\mathrm{mod}12)$より$a_{1000}$の1の位は$a_4$と同じ4である。したがって求める1の位は

である。