北海道大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $$a_1=(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2$$ であり $$a_2=(1+\sqrt{2}{)}^2+(1-\sqrt{2}{)}^2=6$$ である。

ここで$r=1+\sqrt{2}$，または$r=1-\sqrt{2}$とすると，どちらも $r^2=2r+1$ を満たす。したがって $r^{n+2}=2r^{n+1}+r^n$ である。これを$r=1+\sqrt{2}$と$r=1-\sqrt{2}$について足すと $a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$ が成り立つ。

(2)
1の位だけを考えるため，漸化式を10で割った余りで計算する。初めの値は $a_1\equiv 2,a_2\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)$ である。漸化式から順に求めると，1の位は $2,6,4,4,2,8,8,4,6,6,8,2$ と並び，この後また$2,6$に戻るので周期12で繰り返す。したがって $$a_{13}\equiv a_1\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)$$ $$a_{14}\equiv a_2\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)$$ である。よって$a_{13}$の1の位は2，$a_{14}$の1の位は6である。

(3) $0<\mathrm{\mid }1-\sqrt{2}\mathrm{\mid }<1$ であり，1000は偶数なので $0<(1-\sqrt{2}{)}^{1000}<1$ である。したがって $$a_{1000}=(1+\sqrt{2}{)}^{1000}+(1-\sqrt{2}{)}^{1000}$$ は整数であり，$(1+\sqrt{2}{)}^{1000}$は$a_{1000}$より少し小さい。よって $$[(1+\sqrt{2}{)}^{1000}]=a_{1000}-1$$ である。

(2) で見たように$a_n$の1の位は周期12であり $1000\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}12)$ だから，$a_{1000}$の1の位は$a_4$の1の位と同じで4である。したがって$a_{1000}-1$の1の位は $3$ である。

$1\pm \sqrt{2}$を同じ二次方程式の2根として扱い，両者のべきの和に共通する漸化式を作る。(2)は1項だけでなく連続する2項の1の位を組として追い，初期の組$(2,6)$へ戻った時点で周期12を確定する。(3)は1000が偶数であることから$0<(1-\sqrt{2}{)}^{1000}<1$を示し，床が$a_{1000}-1$になることと周期を組み合わせて1の位を決める。

(1)
$1\pm \sqrt{2}$はともに$r^2=2r+1$を満たす。したがって$$a_1=2,a_2=6,a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$$である。

(2)
10を法として連続する2項を追うと$$(2,6)\to (6,4)\to \cdots \to (8,2)\to (2,6)$$となり，12回で初期の組へ戻る。具体的な1の位は$$2,6,4,4,2,8,8,4,6,6,8,2$$である。漸化式は2項の組から次の項を一意に決めるため，以後も周期12である。よって$$a_{13}\text{の1の位}=2,a_{14}\text{の1の位}=6.$$(3)
$0<(1-\sqrt{2}{)}^{1000}<1$なので$$[(1+\sqrt{2}{)}^{1000}]=a_{1000}-1.$$$1000\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}12)$より$a_{1000}$の1の位は$a_4$と同じ4である。したがって求める1の位は$$3$$である。