北海道大学 2017年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

自然数の2乗となる数を平方数という。

(問1) 自然数 $a, n, k$ に対して

n (n + 1) + a = (n + k)^{2}

が成り立つとき

a ≧ k^{2} + 2 k - 1

が成り立つことを示せ。

(問2) $n (n + 1) + 7$ が平方数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

出典：北海道大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

解法1

平方数を $(n + k)^{2}$ と表すと、 $k$ は自然数になる。与式を $a$ について解き、 $a = (2 k - 1) n + k^{2}$ として $n ≧ 1$ から下から評価する。(2) では $a = 7$ を代入して $k$ の候補を $1, 2$ に絞り、それぞれ一次方程式を解いて自然数解を確認する。

解法2

平方根を $m$ とし、 $m > n$ から差 $k = m - n$ を導入する。問2では $n = (7 - k^{2}) / (2 k - 1)$ と表し、分子の正値条件と自然数条件を同時に調べる。

解答

解法1

(1)

$n (n + 1) + a = (n + k)^{2}$ より、 $a = (n + k)^{2} - n (n + 1)$ である。右辺を展開すると $a = n^{2} + 2 k n + k^{2} - n^{2} - n = (2 k - 1) n + k^{2}$ となる。ここで $n, k$ は自然数なので $k ≧ 1$ であり、 $2 k - 1 > 0$ である。また $n ≧ 1$ だから $a = (2 k - 1) n + k^{2} ≧ (2 k - 1) + k^{2} = k^{2} + 2 k - 1$ である。

(2)

$n (n + 1) + 7$ が平方数であるとする。 $n (n + 1) < n (n + 1) + 7$ だから、その平方根は $n$ より大きい自然数であり、ある自然数 $k$ を用いて $n (n + 1) + 7 = (n + k)^{2}$ と書ける。(1) より $7 ≧ k^{2} + 2 k - 1$ である。 $k = 1$ では右辺は $2$ 、 $k = 2$ では $7$ 、 $k = 3$ では $14$ なので、可能性は $k = 1, 2$ に限られる。

また (1) の計算から $7 = (2 k - 1) n + k^{2}$ である。 $k = 1$ のとき $7 = n + 1$ より $n = 6$ である。 $k = 2$ のとき $7 = 3 n + 4$ より $n = 1$ である。いずれも実際に条件を満たすので、求める自然数は $n = 1, 6$ である。

解法2

(問1)

$m = n + k$ とおくと

a = (n + k)^{2} - n (n + 1) = (2 k - 1) n + k^{2} .

$n ≧ 1$ 、 $k ≧ 1$ なので

(2 k - 1) n ≧ 2 k - 1.

したがって

a ≧ k^{2} + 2 k - 1.

(問2)

平方根は $n$ より大きいので、ある自然数 $k$ により

n (n + 1) + 7 = (n + k)^{2}

と書ける。整理すると

n = \frac{7 - k ^{2}}{2 k - 1} .

右辺が自然数であるには $7 - k^{2} > 0$ が必要なので $k = 1, 2$ だけを調べればよい。

k 12 n 61

どちらも元の式を満たす。よって

n = 1, 6.

北海道大学 2017年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(問1)

(問2)

北海道大学 2017年度
文系数学前期第1問