北海道大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $n(n+1)+a=(n+k{)}^2$ より、$a=(n+k{)}^2-n(n+1)$ である。右辺を展開すると $$a=n^2+2kn+k^2-n^2-n=(2k-1)n+k^2$$ となる。ここで $n,k$ は自然数なので $k\geqq 1$ であり、$2k-1>0$ である。また $n\geqq 1$ だから $$a=(2k-1)n+k^2\geqq (2k-1)+k^2=k^2+2k-1$$ である。

(2) $n(n+1)+7$ が平方数であるとする。$n(n+1)<n(n+1)+7$ だから、その平方根は $n$ より大きい自然数であり、ある自然数 $k$ を用いて $n(n+1)+7=(n+k{)}^2$ と書ける。(1) より $7\geqq k^2+2k-1$ である。$k=1$ では右辺は $2$、$k=2$ では $7$、$k=3$ では $14$ なので、可能性は $k=1,2$ に限られる。

また (1) の計算から $7=(2k-1)n+k^2$ である。$k=1$ のとき $7=n+1$ より $n=6$ である。$k=2$ のとき $7=3n+4$ より $n=1$ である。いずれも実際に条件を満たすので、求める自然数は $n=1,6$ である。

平方根を $m$ とし、$m>n$ から差 $k=m-n$ を導入する。問2では $n=(7-k^2)\mathrm{/}(2k-1)$ と表し、分子の正値条件と自然数条件を同時に調べる。

(問1)

$m=n+k$ とおくと$$a=(n+k{)}^2-n(n+1)=(2k-1)n+k^2\mathrm{.}$$$n\geqq 1$、$k\geqq 1$ なので$$(2k-1)n\geqq 2k-1.$$したがって$$a\geqq k^2+2k-1.$$(問2)

平方根は $n$ より大きいので、ある自然数 $k$ により$$n(n+1)+7=(n+k{)}^2$$と書ける。整理すると$$n=\frac{7-k^2}{2k-1}\mathrm{.}$$右辺が自然数であるには $7-k^2>0$ が必要なので $k=1,2$ だけを調べればよい。$$\begin{array}{cc}k& n\\ 1& 6\\ 2& 1\end{array}$$どちらも元の式を満たす。よって$$n=1,6.$$