北海道大学 2017年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

平面上の点 $O$ を中心とする半径1の円を $C$ とし、 $C$ の内部に点 $A$ がある。円周上の2点 $P, Q$ は

A P ⊥ A Q

を満たしながら動く。線分 $P Q$ の中点を $R$ とする。また

O A = a, ∣ a ∣ = r, O P = p, O Q = q, 0 < r < 1

とする。

(問1) $∣ A R ∣^{2}$ を内積 $p \cdot q$ を用いて表せ。

(問2) 直線 $O A$ 上の点 $B$ で、 $∣ B R ∣^{2}$ が $P, Q$ の位置によらず一定となるものを求めよ。また、その一定値を $r$ を用いて表せ。

出典：北海道大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

解法1

直交条件を $(p - a) \cdot (q - a) = 0$ と書き、 $a \cdot (p + q)$ を $p \cdot q$ で表す。 $R$ が中点であることから $O R = (p + q) /2$ とし、(1) は $∣ O R - a ∣^{2}$ を計算する。(2) は $B$ を $O B = λ a$ と置き、 $∣ B R ∣^{2}$ の中の変動量 $p \cdot q$ の係数を0にする。

解法2

直角三角形 $A P Q$ では斜辺 $P Q$ の中点 $R$ が外心になることを利用する。問2では $B$ を $O A$ の中点と予想し、 $2 B R = p + q - a$ を直交条件で整理する。

解答

解法1

$O A = a$ 、 $O P = p$ 、 $O Q = q$ とおく。 $P, Q$ は半径1の円周上にあるので $∣ p ∣ = ∣ q ∣ = 1, ∣ a ∣ = r$ である。

直交条件 $A P ⊥ A Q$ より $(p - a) \cdot (q - a) = 0$ である。展開して $p \cdot q - a \cdot (p + q) + r^{2} = 0$ となるので、 $a \cdot (p + q) = p \cdot q + r^{2}$ を得る。また $R$ は $P Q$ の中点だから $O R = \frac{p + q}{2}$ である。

(1)

まず

∣ O R ∣^{2} = \frac{p + q}{2}^{2} = \frac{∣ p ∣ ^{2} + 2 p \cdot q + ∣ q ∣ ^{2}}{4} = \frac{1 + p \cdot q}{2}

である。また $a \cdot O R = \frac{p \cdot q + r ^{2}}{2}$ である。したがって $∣ A R ∣^{2} = ∣ O R - a ∣^{2}$

= ∣ O R ∣^{2} - 2 a \cdot O R + ∣ a ∣^{2} = \frac{1 + p \cdot q}{2} - (p \cdot q + r^{2}) + r^{2}

より $∣ A R ∣^{2} = \frac{1 - p \cdot q}{2}$ である。

(2)

点 $B$ は直線 $O A$ 上にあるので、ある実数 $λ$ により $O B = λ a$ と書ける。このとき $∣ B R ∣^{2} = ∣ O R - λ a ∣^{2}$

= \frac{1 + p \cdot q}{2} - 2 λ \cdot \frac{p \cdot q + r ^{2}}{2} + λ^{2} r^{2}

である。整理すると

∣ B R ∣^{2} = (\frac{1}{2} - λ) p \cdot q + \frac{1}{2} - λ r^{2} + λ^{2} r^{2}

となる。これが $P, Q$ の位置によらず一定となるには、変動する $p \cdot q$ の係数が0であればよい。よって $\frac{1}{2} - λ = 0$ から $λ = \frac{1}{2}$ である。したがって $B$ は線分 $O A$ の中点であり、 $O B = \frac{1}{2} a$ である。このとき

∣ B R ∣^{2} = \frac{1}{2} - \frac{r ^{2}}{2} + \frac{r ^{2}}{4} = \frac{2 - r ^{2}}{4}

である。

解法2

(問1)

$∠ P A Q = 9 0^{\circ}$ なので、斜辺 $P Q$ の中点 $R$ は直角三角形 $A P Q$ の外心である。したがって

A R = \frac{P Q}{2} .

一方

P Q^{2} = ∣ p - q ∣^{2} = 2 - 2 p \cdot q .

よって

∣ A R ∣^{2} = \frac{1 - p \cdot q}{2} .

(問2)

$B$ を $O A$ の中点とする。このとき

2 B R = p + q - a .

直交条件より

(p - a) \cdot (q - a) = 0,

したがって

a \cdot (p + q) = p \cdot q + r^{2} .

これを用いると

4 B R^{2} = ∣ p + q - a ∣^{2} = 2 + 2 p \cdot q - 2 (p \cdot q + r^{2}) + r^{2} = 2 - r^{2} .

よって

B R^{2} = \frac{2 - r ^{2}}{4} .

一般に $O B = λ a$ とおくと、 $B R^{2}$ における $p \cdot q$ の係数は $1/2 - λ$ となる。したがって一定となる点は $λ = 1/2$ 、すなわち $O A$ の中点だけである。

北海道大学 2017年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(問1)

(問2)

北海道大学 2017年度
文系数学前期第2問