北海道大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$$、$$\overrightarrow{OP}=\vec{p}$$、$$\overrightarrow{OQ}=\vec{q}$$ とおく。$P,Q$ は半径1の円周上にあるので $$\mathrm{\mid }\vec{p}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{q}\mathrm{\mid }=1,\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=r$$ である。

直交条件 $\overrightarrow{AP}\perp \overrightarrow{AQ}$ より $$(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{q}-\vec{a})=0$$ である。展開して $$\vec{p}\cdot \vec{q}-\vec{a}\cdot (\vec{p}+\vec{q})+r^2=0$$ となるので、$$\vec{a}\cdot (\vec{p}+\vec{q})=\vec{p}\cdot \vec{q}+r^2$$ を得る。また $R$ は $PQ$ の中点だから $$\overrightarrow{OR}=\frac{\vec{p}+\vec{q}}{2}$$ である。

(1)
まず$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OR}{\mathrm{\mid }}^2={\mid \frac{\vec{p}+\vec{q}}{2}\mid }^2=\frac{\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2+2\vec{p}\cdot \vec{q}+\mathrm{\mid }\vec{q}{\mathrm{\mid }}^2}{4}=\frac{1+\vec{p}\cdot \vec{q}}{2}$$である。また $$\vec{a}\cdot \overrightarrow{OR}=\frac{\vec{p}\cdot \vec{q}+r^2}{2}$$ である。したがって $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AR}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OR}-\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2$$ $$=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OR}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{a}\cdot \overrightarrow{OR}+\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{1+\vec{p}\cdot \vec{q}}{2}-(\vec{p}\cdot \vec{q}+r^2)+r^2$$より $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AR}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{1-\vec{p}\cdot \vec{q}}{2}$$ である。

(2)
点 $B$ は直線 $OA$ 上にあるので、ある実数 $\lambda$ により $$\overrightarrow{OB}=\lambda \vec{a}$$ と書ける。このとき $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{BR}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OR}-\lambda \vec{a}{\mathrm{\mid }}^2$$ $$=\frac{1+\vec{p}\cdot \vec{q}}{2}-2\lambda \cdot \frac{\vec{p}\cdot \vec{q}+r^2}{2}+{\lambda }^2{r}^2$$である。整理すると$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{BR}{\mathrm{\mid }}^2=(\frac{1}{2}-\lambda )\vec{p}\cdot \vec{q}+\frac{1}{2}-\lambda r^2+{\lambda }^2{r}^2$$となる。これが $P,Q$ の位置によらず一定となるには、変動する $\vec{p}\cdot \vec{q}$ の係数が0であればよい。よって $\frac{1}{2}-\lambda =0$ から $\lambda =\frac{1}{2}$ である。したがって $B$ は線分 $OA$ の中点であり、$$\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\vec{a}$$ である。このとき$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{BR}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{1}{2}-\frac{r^2}{2}+\frac{r^2}{4}=\frac{2-r^2}{4}$$である。

直角三角形 $APQ$ では斜辺 $PQ$ の中点 $R$ が外心になることを利用する。問2では $B$ を $OA$ の中点と予想し、$2\overrightarrow{BR}=\mathit{p}+\mathit{q}-\mathit{a}$ を直交条件で整理する。

(問1)

$\mathrm{\angle }PAQ={90}^{\circ }$ なので、斜辺 $PQ$ の中点 $R$ は直角三角形 $APQ$ の外心である。したがって$$AR=\frac{PQ}{2}\mathrm{.}$$一方$$P{Q}^2=\mathrm{\mid }\mathit{p}-\mathit{q}{\mathrm{\mid }}^2=2-2\mathit{p}\cdot \mathit{q}\mathrm{.}$$よって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AR}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{1-\mathit{p}\cdot \mathit{q}}{2}\mathrm{.}$$(問2)

$B$ を $OA$ の中点とする。このとき$$2\overrightarrow{BR}=\mathit{p}+\mathit{q}-\mathit{a}\mathrm{.}$$直交条件より$$(\mathit{p}-\mathit{a})\cdot (\mathit{q}-\mathit{a})=0,$$したがって$$\mathit{a}\cdot (\mathit{p}+\mathit{q})=\mathit{p}\cdot \mathit{q}+r^2\mathrm{.}$$これを用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 4B{R}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\mathit{p}+\mathit{q}-\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+2\mathit{p}\cdot \mathit{q}-2(\mathit{p}\cdot \mathit{q}+r^2)+r^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-r^2\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$B{R}^2=\frac{2-r^2}{4}\mathrm{.}$$一般に $$\overrightarrow{OB}=\lambda \mathit{a}$$ とおくと、$B{R}^2$ における $\mathit{p}\cdot \mathit{q}$ の係数は $1\mathrm{/}2-\lambda$ となる。したがって一定となる点は $\lambda =1\mathrm{/}2$、すなわち $OA$ の中点だけである。