北海道大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $n$ 秒後に頂点 $A$ にいる確率を $p_n$ とする。はじめ $A$ にいるので $p_0=1$ である。 $n$ 秒後に $A$ にいる場合、次の1秒で $A$ にいるためにはその場に留まればよいので、その確率は $1-a$ である。一方、$n$ 秒後に $A$ 以外の頂点にいる場合、正四面体ではその頂点から $A$ は隣の3頂点の1つなので、次に $A$ へ移る確率は $a\mathrm{/}3$ である。したがって $$p_{n+1}=(1-a)p_n+\frac{a}{3}(1-p_n)$$ である。整理して $$p_{n+1}=\frac{a}{3}+(1-\frac{4a}{3})p_n$$ を得る。

(2)
漸化式の定数解を求めると、$$p=\frac{a}{3}+(1-4a\mathrm{/}3)p$$ より $p=\frac{1}{4}$ である。よって $$p_{n+1}-\frac{1}{4}=(1-\frac{4a}{3})(p_n-\frac{1}{4})$$ となる。$p_0=1$ だから $p_0-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ であり、$$p_n-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}{(1-\frac{4a}{3})}^n$$ である。したがって $$p_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{(1-\frac{4a}{3})}^n$$ となる。

対称性により $A$ 以外の各頂点にいる確率は等しい。$A$ にいる確率 $p_n$ と、特定の他頂点にいる確率 $q_n$ の差をとると、定数項のない等比型になる。

(問1)

$n$ 秒後に特定の頂点 $B$ にいる確率を $q_n$ とする。対称性から $B,C,D$ にいる確率はすべて $q_n$ であり$$p_n+3q_n=1.$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{n+1}}& {\displaystyle =(1-a)p_n+3\cdot \frac{a}{3}{q}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-a)p_n+\frac{a}{3}(1-p_n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{a}{3}+(1-\frac{4a}{3})p_n\mathrm{.}}\end{array}$$初期値は $p_0=1$ である。

(問2)

特定の他頂点にいる確率について$$q_{n+1}=\frac{a}{3}{p}_n+(1-\frac{a}{3})q_n\mathrm{.}$$よって差をとると$$p_{n+1}-q_{n+1}=(1-\frac{4a}{3})(p_n-q_n)\mathrm{.}$$$p_0-q_0=1$ なので$$p_n-q_n={(1-\frac{4a}{3})}^n\mathrm{.}$$さらに $p_n+3q_n=1$ と連立すれば$$p_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{(1-\frac{4a}{3})}^n\mathrm{.}$$