北海道大学 2017年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

正四面体 $A B C D$ の頂点を移動する点 $P$ がある。点 $P$ は1秒ごとに、隣の3頂点のいずれかへそれぞれ確率

\frac{a}{3}

で移るか、確率 $1 - a$ で元の頂点に留まる。初め頂点 $A$ にいた点 $P$ が、 $n$ 秒後に $A$ にいる確率を $p_{n}$ とする。ただし $0 < a < 1$ とする。

(問1) 数列 ${p_{n}}$ の漸化式を求めよ。

(問2) $p_{n}$ を求めよ。

出典：北海道大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

解法1

頂点 $A$ にいるか、 $A$ 以外にいるかの2状態にまとめる。 $A$ にいるとき次も $A$ にいる確率は $1 - a$ 、 $A$ 以外にいるとき次に $A$ へ移る確率は $a /3$ なので一次漸化式が立つ。定数解 $1/4$ を引いて等比数列に直し、初期値 $p_{0} = 1$ を代入する。

解法2

対称性により $A$ 以外の各頂点にいる確率は等しい。 $A$ にいる確率 $p_{n}$ と、特定の他頂点にいる確率 $q_{n}$ の差をとると、定数項のない等比型になる。

解答

解法1

(1)

$n$ 秒後に頂点 $A$ にいる確率を $p_{n}$ とする。はじめ $A$ にいるので $p_{0} = 1$ である。 $n$ 秒後に $A$ にいる場合、次の1秒で $A$ にいるためにはその場に留まればよいので、その確率は $1 - a$ である。一方、 $n$ 秒後に $A$ 以外の頂点にいる場合、正四面体ではその頂点から $A$ は隣の3頂点の1つなので、次に $A$ へ移る確率は $a /3$ である。したがって $p_{n + 1} = (1 - a) p_{n} + \frac{a}{3} (1 - p_{n})$ である。整理して $p_{n + 1} = \frac{a}{3} + (1 - \frac{4 a}{3}) p_{n}$ を得る。

(2)

漸化式の定数解を求めると、 $p = \frac{a}{3} + (1 - 4 a /3) p$ より $p = \frac{1}{4}$ である。よって $p_{n + 1} - \frac{1}{4} = (1 - \frac{4 a}{3}) (p_{n} - \frac{1}{4})$ となる。 $p_{0} = 1$ だから $p_{0} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ であり、 $p_{n} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} (1 - \frac{4 a}{3})^{n}$ である。したがって $p_{n} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} (1 - \frac{4 a}{3})^{n}$ となる。

解法2

(問1)

$n$ 秒後に特定の頂点 $B$ にいる確率を $q_{n}$ とする。対称性から $B, C, D$ にいる確率はすべて $q_{n}$ であり

p_{n} + 3 q_{n} = 1.

したがって

p_{n + 1} = (1 - a) p_{n} + 3 \cdot \frac{a}{3} q_{n} = (1 - a) p_{n} + \frac{a}{3} (1 - p_{n}) = \frac{a}{3} + (1 - \frac{4 a}{3}) p_{n} .

初期値は $p_{0} = 1$ である。

(問2)

特定の他頂点にいる確率について

q_{n + 1} = \frac{a}{3} p_{n} + (1 - \frac{a}{3}) q_{n} .

よって差をとると

p_{n + 1} - q_{n + 1} = (1 - \frac{4 a}{3}) (p_{n} - q_{n}) .

$p_{0} - q_{0} = 1$ なので

p_{n} - q_{n} = (1 - \frac{4 a}{3})^{n} .

さらに $p_{n} + 3 q_{n} = 1$ と連立すれば

p_{n} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} (1 - \frac{4 a}{3})^{n} .

北海道大学 2017年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(問1)

(問2)

北海道大学 2017年度
文系数学前期第3問